Intérêt après 4 périodes

[NicoAdins]

Bonjour,

J'ai l'énoncé suivant : On considère un intérêt composé avec $M_0=1€$ et la période $n$ est la suivante : $n=4$ avec un taux d'intérêt $r$.
Prouvez que l'intérêt après 4 période $I_4=r^4+4r^3+6r^2+4r$

Voici mes calculs :

$I_1=\mathbf{r}{\mathbf{M}}_0$
$M_1=M_0+r{M}_0=(1+\mathbf{r}){\mathbf{M}}_0$

$I_2=r{M}_1=r(1+r)M_0={\mathbf{M}}_0(\mathbf{r}+{\mathbf{r}}^2)$
$M_2=M_1+I_2=(1+r)M_1=(1+\mathbf{r})²{\mathbf{M}}_0$

$I_3=r{M}_2=r(1+r)²M_0=(1+2r+r^2)r{M}_0=(\mathbf{r}+2{\mathbf{r}}^2+{\mathbf{r}}^3){\mathbf{M}}_0$
$M_3=M_2+I_3=(1+\mathbf{r}{)}^3{\mathbf{M}}_0$

$I_4=r{M}_3=r(1+r{)}^3{M}_0=(1+3r+3r^2+r^3)r{M}_0=(r+3r^2+3r^3+r^4)M_0$

Je n'obtiens pas le même résultat et impossible de trouver où se trouve mon erreur de calcul.
Pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance,

Bonne soirée,

[Black-Jack]

Bonjour,

M(0) = 1
M(1) = M(0) * (1 + r)
M(2) = M(1) * (1 + r) = M(0) * (1+r)²
M(3) = M(2) * (1 + r) = M(0) * (1+r)³
M(4) = M(3) * (1 + r) = M(0) * (1+r)^4

L'intérêt à la période 4 est : P(4) = M(4) - M(0)

P(4) = M(0) * (1+r)^4 - M(0)
P(4) = M(0) * [(1+r)^4 - 1]

et avec M(0) = 1 --> P(4) = [(1+r)^4 - 1]

Et en développant, on arrive à P(4) = r^4 + 4r³ + 6r² + 4r

[NicoAdins]

@Black-Jack merci beaucoup !