exercice sur les sommes

bonjour j'ai un exercice à faire sur les sommes mais je bloque.
Je dois calculer la somme de k=1 à n de (2^k)xth((2^k)x) sachant que j'ai montré juste avant que th(x)=2/th(2x)-1/th(x). Je suppose que je dois m'aider de cela mais je vois pas du tout comment procéder.
merci de votre aide

@gregory , bonjour,

Tu as une somme télescopique ; il doit te rester que 2 termes après simplifications

Si j'ai bien lu :

$thx=2th(2x)−1thxthx=\dfrac{2}{th(2x)}-\dfrac{1}{thx}$

Tu cherches $S=∑k=1k=n2kth(2kx)\displaystyle S=\sum_{k=1}^{k=n}2^kth(2^kx)$

Avec la formule que tu donnes :

$2kth(2kx)=2k2th(2k+1x)−2kth(2kx)2^kth(2^kx)=2^k\dfrac{2}{th(2^{k+1}x)}-\dfrac{2^k}{th(2^kx)}$

$2kth(2kx)=2k+1th(2k+1x)−2kth(2kx)\boxed{2^kth(2^kx)=\dfrac{2^{k+1}}{th(2^{k+1}x)}-\dfrac{2^k}{th(2^kx)}}$

Cette formule encadrée, tu l'écris n fois ( pour k=1, k=2,...,k=n) , en mettant chaque formule en dessous de la précédente pour mieux voir.

En ajoutant, tu dois constater que presque tout se barre (en diagonale) et qui ne reste que deux termes.

,

justement j'avais réussi à avancer jusqu'à cette forme générale (tout en pensant que ce que j'avais avant était faux mais vous avez démontré la même chose donc c'était juste) mais c'est à cet endroit que je bloque, je ne vois pas les simplifications...
merci pour votre aide !

ah sii attendez, il va me rester (2^n+1)/th(2^(n+1)x) ?

non il va rester -2/th(2x) ?

@gregory ,

Sauf erreur, il reste :

$S=2n+1th(2n+1x)−2th(2x)S=\dfrac{2^{n+1}}{th(2^{n+1}x)}-\dfrac{2}{th(2x)}$

effectivement, j'ai donné les deux en oubliant qu'ils allaient ensemble. Merci beaucoup.

J'ai une autre question. Toujours dans le cadre des sommes mais introductrice à d'autres calculs. Je dois linéariser sin(téta) x cos((2k+1)teta). Je fais comment ? je développe mon cos puis j'applique la formule cos(a+b) ?

@gregory ,

Pour répondre à ta question complémentaire, pour linéariser le produit d'un sinus par un cosinus, utilise la propriété (conséquence des formules d'addition):
$sinacosb=12[sin(a+b)+sin(a−b)]sinacosb=\dfrac{1}{2}[sin(a+b)+sin(a-b)]$

Si tu as un autre exercice indépendant du premier, il faudra ouvrir une autre discussion.

daccord, merci. C'est fait

OK @gregory