3. Relation d’équivalence

Relation d’équivalence

  • S

    Bonjour. Dans E=R^R on définit la relation Rpar :fRg équivalent il existe P appartenant à E bijective ,p o f = g o p

    1. Mq R est une relation d’équivalence
    2. A t’on cos R sin ?
  • mtschoon

    @steeve , bonjour,

    Je regarde ton énoncé.
    Tu as écrit :

    @steeve a dit dans Relation d’équivalence :

    Bonjour. Dans E=R^R on définit la relation Rpar :fRg équivalent il existe P appartenant à E bijective ,p o f = g o p

    1. Mq R est une relation d’équivalence
    2. A t’on cos R sin ?

    Désolée, mais je ne connais pas la notation R ^ R ...
    Est-ce l'ensemble des applications de R vers R ?, des fonctions?
    Je l'ignore.

    Je ne cherche donc pas la question 2, car s'il s'agit des applications de R(ensemble de départ) vers R(ensemble image), les fonctions sinus et cosinus n'en font pas partie (leur ensemble image est [-1,1]) donc la réponse est "non".
    Si ce n'est pas de cela dont il s'agit, à toi de chercher.

    Je regarde la question 1.

  • mtschoon

    Quelques pistes pour prouver que RRR est une relation d'équivalence.

    Réflexivité

    Tu dois prouver que fRff R f fRf,c'est à dire qu'il existe une bijection p telle que pof=foppof=foppof=fop

    Il te suffit de prendre p=Id\boxed{p=Id}p=Id​ (application identique)

    Symétrie

    Tu dois prouver que fRgfRgfRg implique gRfgRfgRf

    Tu supposes qu'il existe une bijection ppp telle que pof=goppof=goppof=gop
    Tu cherches une bijection qqq telle que qog=foqqog=foqqog=foq
    La bijection q=p−1q=p^{-1}q=p−1 (bijection réciproque de p) convient.

    Explication rapide (à détailler)
    Remarque : l loi ooo est associative donc ce n'est pas indispensable de mettre des parenthèses.
    Je ne les mets pas pour alléger, mais pour mieux expliquer la démarche dans un devoir, je te conseille de les utiliser.

    gop=pofgop=pofgop=pof donc
    gopop−1=pofop−1gopop^{-1}=pofop^{-1}gopop−1=pofop−1 donc g=pofop−1g=pofop^{-1}g=pofop−1 ( vu que pop−1=Idpop^{-1}=Idpop−1=Id donc
    p−1og=p−1opofop−1p^{-1}og=p^{-1}opofop^{-1}p−1og=p−1opofop−1 donc
    p−1og=fop−1p^{-1}og=fop^{-1}p−1og=fop−1 donc
    q=p−1\boxed{q=p^{-1}}q=p−1​

  • mtschoon

    @steeve ,

    Transitivité

    Tu dois prouver que fogfogfog et gohgohgoh implique fohfohfoh

    Tu supposes qu'il existe deux bijections p et q telles que
    pog=goppog=goppog=gop et qog=hoqqog=hoqqog=hoq
    Tu cherches une bijection r telle que rof=horrof=horrof=hor
    La bijection r=qopr=qopr=qop convient.

    Explication rapide (à détailler)
    Même remarque que précédemment : la loi ooo est associative donc ce n'est pas indispensable de mettre des parenthèses.
    Je ne les mets pas pour alléger, mais pour mieux expliquer la démarche dans un devoir, je te conseille de les utiliser.

    pof=goppof=goppof=gop donc pofop−1=gopop−1pofop^{-1}=gopop^{-1}pofop−1=gopop−1 donc
    pofop−1=gpofop^{-1}=gpofop−1=g (vu que pop−1=Idpop^{-1}=Idpop−1=Id)

    De plus, qog=hoqqog=hoqqog=hoq, donc
    qopofop−1=hoqqopofop^{-1}=hoqqopofop−1=hoq, donc
    qopofop−1op=hoqopqopofop^{-1}op=hoqopqopofop−1op=hoqop, donc
    qopof=hoqopqopof=hoqopqopof=hoqop d'où
    r=qop\boxed{r=qop}r=qop​

    Bons calculs !

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