Similitudes directes


  • G

    Salut, de l'aide svp : vrai ou faux en justifiant
    f et g deux similitudes directes .
    Pour un point donné A , f(g(A)) = g(f(A)) . On
    a ;fog= gof


  • G

    @galois je viens de trouver une idée
    Vrai
    fog et gof ont même angle ,même rapport et couicident en un point A donc ont le même centre intersection d'un arc et d'un cercle


  • mtschoon

    @galois , bonjour,

    Je répondrais VRAI aussi.

    Je te propose une démonstation en passant par la forme complexe des Similitudes directes (si tu connais)

    fff : F(z)=az+bF(z)=az+bF(z)=az+b avec a∈C∗a\in C*aC et b∈Cb \in CbC
    ggg : G(z)=cz+dG(z)=cz+dG(z)=cz+d avec c∈C∗c\in C*cC et d∈Cd\in CdC

    fogfogfog : FoG(z)=a(cz+d)+b=acz+ad+bFoG(z)=a(cz+d)+b=acz+ad+bFoG(z)=a(cz+d)+b=acz+ad+b
    gofgofgof : GoF(z)=c(az+b)+d=acz+cb+dGoF(z)=c(az+b)+d=acz+cb+dGoF(z)=c(az+b)+d=acz+cb+d

    Par hypothèse : fog(A)=gof(A)fog(A)=gof(A)fog(A)=gof(A)

    Soit z0z_0z0 l'affixe de A :

    FoG(z0)=GoF(z0)FoG(z_0)=GoF(z_0)FoG(z0)=GoF(z0) c'est à dire
    acz0+ad+b=acz+cb+dacz_0+ad+b=acz+cb+dacz0+ad+b=acz+cb+d, c'est à dire ad+b=cb+dad+b=cb+dad+b=cb+d

    Conséquence : en ajoutant aczaczacz à chaque membre , pour tout zzz de CCC :
    acz+ad+b=acz+cb+dacz+ad+b=acz+cb+dacz+ad+b=acz+cb+d

    Donc FoG(z)=GoF(z)FoG(z)=GoF(z)FoG(z)=GoF(z)

    Donc fog=goffog=goffog=gof

    CQFD


  • G

    @mtschoon merci c'est plus convaincant


  • mtschoon

    De rien @galois ;
    A+


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