Exercice Algèbre Injection, Cardinal

Bonjour à tous.
J'ai besoin d'aide pour un petit exercice :
Soit f une application injective d'un ensemble E dans un ensemble F

écrire formellement que f: E →F est une injection.
2)Si card (E) et card (F) sont finis, quelle relation y-a-t 'il entre les deux cardinaux?
3)Si card (E) est fini, que peut-on dire du cardinal de F?
4)Si card (F) est fini, que peut-on dire du cardinal de ?
Merci d'avance.

@Yac93 , bonjour,

Je regarde ta question.

@Yac93 a dit dans Exercice Algèbre Injection, Cardinal :

Soit f une application injective d'un ensemble E dans un ensemble F

écrire formellement que f: E →F est une injection.
2)Si card (E) et card (F) sont finis, quelle relation y-a-t 'il entre les deux cardinaux?
3)Si card (E) est fini, que peut-on dire du cardinal de F?
4)Si card (F) est fini, que peut-on dire du cardinal de ?
Merci d'avance.

Je te donne quelques indications , mais pas avec la formulation de ton énoncé.
Pour moi, dans le cas usuel, on parle du "cardinal d'un ensemble" seulement lorsque cet l'ensemble est fini, et dans ce cas, le cardinal est le nombre d'éléments de l'ensemble.
Mais bien sûr, comme tu es en SUP, ton cours a dû étendre cette notion aux ensembles infinis...

Pour la 1), il y a différentes possibilités.

Tu peux écrire par exemple
$∀x,y∈E\forall x,y \in E$ $\implies x=x')$

Tu peux dire aussi que f est injective si et seulement si tout élément $y$ de $F$ a, au plus, un antécédent $x$ dans $E$

Pour la 2), $E$ et $F$ étant des ensembles finis : $card(E)≤card(F)card(E)\le card(F)$

Pour le justifier, tu peux dire que, en appliquant la défintion, $f$ est une bijection de $E$ vers $f (E)$ donc $c a r d (E) = c a r d (f (E))$
Or, $f(E)⊂Ff(E)\subset F$ donc $card(f(E))≤card(F)card(f(E))\le card(F)$
En conséquence : $card(E)≤card(F)card(E)\le card(F)$

@Yac93 ,
Pour la 3)

$E$ étant une ensemble fini, je dirais que F est soit un ensemble fini (donc dans ce cas, d'après la 2), $card(E)≤card(F)card(E)\le card(F)$ ) , soit un ensemble infini.

Une illustration banale
Soit $E=⟮0.1⟯E=\lgroup 0.1\rgroup$ , $F = R$ et $f$ l'application définie par $f (x) = x$ de $E$ vers $F = R$
$f$ est injective de $⟮0.1⟯\lgroup 0.1\rgroup$ vers $R$

Pour la 4)
Soit $F$ un ensemble fini et $c a r d (F)$ son cardinal.

Vu que $f(E)⊂Ff(E)\subset F$ , on déduit que $card(f(E))≤card(F)card(f(E))\le card(F)$

Vu que $f$ est une bijection de $E$ vers $f (E)$ , $c a r d (f (E)) = c a r d (F)$
donc $card(E≤card(F)card(E\le card(F)$

Si ça t'interesse, pour consultation, tu as ici un pdf qui traîte un peu tout ce qui concerne les ensembles et applications.
http://exo7.emath.fr/cours/ch_ensembles.pdf

Tu peux lire en particulier la défintion de card(E):
Un ensemble E est fini s’il existe un entier n ∈ N et une bijection de E vers {1, 2, . . . , n}.
Cet entier n est unique et s’appelle le cardinal de E (ou le nombre d’éléments) et est noté card(E)

Evidemment,, tu peux avoir une notion plus générale du cardinal d'un ensemble infini ici :
Je te met un lien :
https://www.techno-science.net/definition/10528.html

@mtschoon Merci Beaucoup pour ton aide! Ton lien exo7 m'a bien aidé à comprendre les relations. Bonne journée.

De rien @Yac93.

@mtschoon Merci!

Bon travail @Tac93