Ouvert connexe privé d'un élément

Bonjour, je suis face à un exercice que je ne parviens pas à résoudre.

Montrer que si U est un ouvert connexe non vide de R^2 (muni de la norme associée à la distance euclidienne) alors, pour tout x de U, U \ {x} est connexe.

J'ai tenté d'utiliser les différentes caractérisations des espaces connexes que je connais mais je ne parviens jamais à conclure.
Par exemple, si je considère V un ouvert-fermé de U \ {x}, je ne parviens pas à montrer que l'union de V et de {x} est un ouvert de U, ce qui me permettrait ensuite de conclure. Si je considère une fonction de U \ {x} dans {0, 1}, je ne parviens pas non plus à en dire quoi que ce soit qui pourrait m'aider.

Auriez-vous une idée pour me débloquer ?

@Marc0Pol0 , bonjour,
Je vois que tu n'as pas encore eu de réponse., alors je regarde.

Je ne sais absolument pas ce qui est dans ton cours,
Je ne fais une suggestion, mais peut-être qu'elle ne te conviendra pas...

Un idée : Utiliser la Connexité par arcs.
Voir le paragraphe 3 ici :
https://www.i2m.univ-amu.fr/~rigat/Licence/chapitre5.pdf
"Dans un espace métrique, un ouvert $O$ est connexe si et seulement si il est connexe par arcs".

Soit $O$ un connexe.
Deux points $a$ et $b$ de $O$ peuvent être reliés par un chemin (un "arc") continu.

On prend $a$ et $b$ dans $O$ / $x$
Deux cas :
1er cas : le chemin reliant $a$ avec $b$ ne passe pas par $x$ : c'est parfait (rien à faire)
2ème cas : le chemin reliant $a$ avec $b$ passe pas $x$ : il va falloir faire une "dérivation"
(Vu que tu est dans $R^2$ , tu peux faire éventuellement un schéma et des calculs faciles de distance, ou tu te contentes² du raisonnement)
Vu que $O$ est un ouvert. tu choisis une boule ( de rayon R >0 ), centrée sur $x$ , contenue dans $O$ , ne passant pas par $a$ et $b$ .
Vu que le chemin passe par $x$ , il "traverse" la boule de $c$ à $d$ .
Tu considères le chemin allant directement de $a$ à $c$ , tu contournes la boule entre $c$ à $d$ , puis qui va directement de $d$ à $b$ .
En concaténant ces 3 portions , tu obtiens un chemin continu de $a$ à $b$ situé dans $O$ \ $x$ .

Conclusion :
$O$ / $x$ est connexe par arcs, donc il est connexe.

C'est une idée assez "concrète".
A toi de voir si elle peut t'aller.
Bon courage.