Couple de variables aléatoires
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Mi9damon dernière édition par
Salut tout le monde..//
J'ai du mal à trouver l'espérance d'une variable aléatoire...
Voilà les données:
Soit (X,Y)(X,Y)(X,Y) un couple de variables aléatoires réelles aˋàaˋ valeursvaleursvaleurs entieˋresentièresentieˋres dont la fonction génératrice la suivante:
GX,Y(u,v)=(u+v)2e2e(u+v)G_{X,Y}(u,v) = \frac{(u+v)}{2e^2}e^{(u+v)}GX,Y(u,v)=2e2(u+v)e(u+v)QUESTIONSQUESTIONSQUESTIONS
1 - Calculer la loi de proba du couple (X,Y)(X,Y)(X,Y)
REPONSE : fX,Y(x,y)=x+y2e2x!y!f_{X,Y}(x,y) = \frac{x+y}{2e^2x!y!}fX,Y(x,y)=2e2x!y!x+y, pour tout entier (x,y)
PS: j'ai utilisé le développement limitée de fonction exponentielle...2- Calculer loi marginale de X. Calculer l'espérance et la variance de X.
REPONSE : fX(x)=e(x+1)−12e2x!f_X(x)= \frac{e(x+1)-1}{2e^2x!}fX(x)=2e2x!e(x+1)−1, pour tout entier x
E(X)=32E(X) = \frac{3}{2}E(X)=23 et V(X)=54V(X) = \frac{5}{4}V(X)=45
PS : l'espérance et la variance de X je l'ai calculé à partir de la fonction génératrice, par dériver la fonction par rapport à uuu et puis calculer la valeur de dérivée en donnant (u,v)=(1,1)(u,v)=(1,1)(u,v)=(1,1). MEME chose pour la variance...Le problème commence dès cette question...
3 - Calculer l'espérance et la variance de Z=11+XZ = \frac{1}{1+X}Z=1+X1.SVP j'ai besoin de vos aides.... des indications pour trouver la réponse ou des réponses suggérées....
Merci en avance.
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mtschoon dernière édition par
@Mi9damon , bonjour,
Pour débloquer ZZZ tu peux peut-être (?) le transformer en série entière
Pour 0<∣X∣<10\lt |X|\lt 10<∣X∣<1, Tu sais que
11−X=1+X+X2+...+Xi+...=∑i=0+∞Xi\displaystyle \dfrac{1}{1-X}=1+X+X^2+...+X^i+...=\sum_{i=0}^{+\infty }X^i1−X1=1+X+X2+...+Xi+...=i=0∑+∞Xi
(somme convergente de la suite (Xi)(X^i)(Xi) géométrique de premier terme 1 et de raison XXX)Z=11+X=11−(−X)=∑i=0+∞(−X)i\displaystyle Z=\dfrac{1}{1+X}=\dfrac{1}{1-(-X)}= \sum _{i=0}^{+\infty} (-X)^i Z=1+X1=1−(−X)1=i=0∑+∞(−X)i
Z=∑i=0+∞(−1)iXi\displaystyle Z=\sum_{i=0}^{+\infty}(-1)^iX^iZ=i=0∑+∞(−1)iXi
Vois si tu peux faire quelque chose avec ça.
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Mi9damon dernière édition par
Bonjour @mtschoon
Puisque X prend des valeurs entières naturelles il est impossible de faire ce développement, mais heureusement il y a une réponse presque immédiate c'est que d'appliquer le théorème de transfert et calculer la somme de g(X)g(X)g(X) pondérée par les probabilités que X = x. Où Z=g(X)=11+XZ = g(X)=\frac{1}{1+X}Z=g(X)=1+X1
La somme vaut: E(Z)=∑x=0∞g(x)x+12ex!=12E(Z)=\displaystyle\sum_{x=0}^{\infty}g(x)\frac{x+1}{2ex!} = \frac{1}{2}E(Z)=x=0∑∞g(x)2ex!x+1=21
Juste une remarque, il y a un erreur dans la loi marginale de X que, après recompte, j'ai trouvé que fX(x)=x+12ex!f_X(x)=\frac{x+1}{2ex!}fX(x)=2ex!x+1
Merci.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@Mi9damon , bonsoir,
Effectivement, X prend des valeurs entières (tu l'avais indiqué, mais cela m'avais échappé car je n'avais regardé que ta question 3 car ton problème ne commençait qu'à cette question...) ,
C'est bien si maintenant tout est réglé.
