3. Probabilités et dénombrements

Probabilités et dénombrements

  • R

    Bonjour ou Bonsoir,
    Je vais au rattrapage et pour m'entrainer je voulais refaire mes DS de premier et deuxième semestre pour me remettre en condition mais nous n'avons pas eu la correction. J'espère qu'on pourra m'aider. Voici le premier DS:

    Ex1: Un sac contient 20 jetons indiscernables au touché parmi lesquels, 8 jetons sont blancs et portent e numéro 0, 5 jetons sont rouges et parés du numéro 7, 4 jetons sont blancs et portent le numéro 2 et 3 jetons sont rouges et parés du numéro 5. On tire simultanément 4 jetons du sac.
    a) Combien y-a-t-il de tirages possibles?
    b) Combien y-a-t-il de tirages avec des jetons blancs uniquement?
    c) Combien y-a-t-il de tirages avec les quatre numéros identiques?
    d) Combien y-a-t-il de tirages avec des jetons de la même couleur?
    e) Combien y-a-t-il de tirages qui permettent de former le nombre 2022?

    Ex2: Dans un jeu à "qui tire une boule blanche gagne", on dispose de deux urnes U1 er U2. L'urne U1 contient 2 boules blanches et 3 boules noires. L'urnes U2 contient 1 boule blanche et 4 boules noires. On lance un dé équilibré à 6 faces. Si le résultat obtenu est 6, alors on tire une boule au hasard dans l'urne U1, sinon on tire une boule de l'urne U2. On gagne si la boule tirée est blanche.
    a) Quelle est la probabilité de gagner à ce jeu?
    b) Sachant qu'un joueur a gagné, quelle est la probabilité que la boule provienne de l'urne U1?
    c) Les évènements "le joueur a gagné" et "le joueur a obtenu un 6 au lancé du dé" sont-ils indépendants?

    Ex3: (les unions seront marqué U, les inters n, les A barre en Ac)
    On considère les évènements A et B associés à une même expérience aléatoire, tels que P(AnB)=0,12 ; P(A)=0,3 et P(B)=0,68.
    a) Calculer P(B/A)
    b) Calculer P(AcnB)
    c) Calculer P(Bc/Ac)
    d) Calculer P(AUB)
    e) Les évènements A et B sont-ils indépendants?

    Ex4: Le tableau ci-dessous donne les résultats d'un sondage effectué au sein d'un groupe de 100 personnes.

                                                  Joue au jeux vidéo                                   Ne joue pas aux jeux vidéo

    Hommes 20 30
    Femmes 10 40

    a) On interroge un individu de ce groupe. Quelle est la probabilité qu'il joue aux jeux vidéo sachant que c'est une femme?
    b)On interroge un individu au hasard de ce groupe. Quelle est la probabilité que ce soit une femme sachant que c'est un joueur?
    c) Les évènements A={la personne interrogée est une femme} et B={la personne interrogée ne joue pas aux jeux vidéo} sont-ils indépendants?

    Voici maintenant le deuxième DS:

    Ex: Dans une population donnée, le nombre de mâles est la moitié du nombre de femelles La fréquence d'un caractère "A" est de 4% chez les mâles et 2,5% chez les femelles.
    a) Quelle est la probabilité qu'un individu pris au hasard dans cette population ait le caractère "A"?
    b) Sachant que l'individu choisi porte le caractère "A", quelle est la probabilité qu'il soit un mâle?
    c) Sachant qu'un individu ne porte pas le caractère "A", quelle est la probabilité qu'il soit une femelle?

    Ex2: Un dresseur dispose de 6 cases pour loger ses animaux à savoir: une chèvre, un chat, une souris, un chien et un zèbre.
    a) Combien y a-t-il de façons différentes d'allouer une case à chacun des animaux?
    b) Sachant que la souris ne peut se mettre dans une case mitoyenne de celle du chat, combien y a t-il de dispositions différentes de loger tous les animaux? Il est à signaler que le chat et la souris qui ne peuvent se mettre côte-à-côte peuvent être séparés par une case vide.
    c) Reconsidérer la question B lorsque le nombre de cases disponibles est au nombre de 5.

    Ex3: La loi de probabilité du couple (X,Y) est donnée par le tableau ci-dessous:

                 Y                                       0                                                1                                  2

    X
    -1 a 2a a
    0 a a 0
    1 a 2a a

    1. Montrer que l'unique valeur de a permettant d'avoir une loi de probabilité pour le couple (X,Y) est a=0.1
    2. Déterminer les lois marginales de X et de Y
    3. Calculer E(X), E(Y) et Cov(X,Y)
    4. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? (justifier)
    5. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire V= 2X+3Y

    Ex4: On dispose de deux dés cubiques: le A non truqué et le B truqué de telle sorte que la probabilité d'apparition du chiffre 6 soit de 1/3, les autres faces ayant la même probabilité de sortir. On lance les deux dés. On note X la variable aléatoire donnant le résultat obtenu dans le lancé du dé A, et Y celle correspondant au lancé du dé B.

    1. Etablir les loi de probabilité de X et Y.
    2. Calculer E(Y) et Var(Y).

    On choisi au hasard un des deux dés et on le lance 3 fois de suite. Soit Z la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.
    3) Calculer P(Z=3)
    4) Sachant que le chiffre 6 est sorti trois fois, quelle est la probabilité qu'on ait lancé le dé B?
    5) Déterminer la loi de Z.

    Voila, je vous remercie d'avance pour vos réponses !!

  • mtschoon

    @Rosy66 , bonjour,

    Ici, il faut mettre un seul exercice par discussion.
    De plus, on ne donne pas les solutions, on aide à les trouver.

    Je te mets des pistes pour démarrer l'exercice Ex1

    (Il faudra ouvrir d'autres discussions pour d'autres exercices si tu le souhaites, mais les DS de 2 semestres, ça fait vraiment beaucoup !...)

    Vu que l'on tire simultanément, il s'agit de combinaisons,

    a) résultat : C204C_{20}^4C204​ que tu peux aussi écrire suivant tes habitudes,(204){20}\choose {4}(420​) .
    Tu comptes.

    b) Il y a 8+4=12 jetons blancs, si j'ai bien lu.

    Tu dois donc calculer C124C_{12}^4C124​ que tu peux aussi écrire suivant tes habitudes (124){12}\choose {4}(412​) .

    Essaie de poursuivre et donne tes réponses si tu souhaites une vérification.

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