CALCUL D'UNE SOMME DE TERMES
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Aabdellatifbiqaa dernière édition par Noemi
∑n=0∞nx2n\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}nx^{2n}n=0∑∞nx2n
Scan supprimé et formule écrite en latex par la modulation du forum.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@abdellatifbiqaa , bonjour,
Tu n'es absolument pas dans l'esprit du forum .
Regarde ce qu'il aurait fallu lire avant de poster, et appliquer :
https://forum.mathforu.com/topic/1378/stop-lire-ce-sujet-tu-devras-avant-de-poster-ton-messageLa politesse n'est pas une option et il faut écrire plus correctement l'énoncé.
Vu la faute d'orthographe du titre, tu ne connais peut-être pas (ou guère) la langue française mais fais un effort une autre fois.Vu que tu as écrit la formule à démontrer "à la main "dans ton scan, je la regarde.
Tu ne dis rien sur xxx... je suppose ∣x∣<1|x|\lt 1∣x∣<1
Je t'indique quelques pistes possibles mais vu que tu postes en "Supérieur", je ne détaille pas tout.
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mtschoon dernière édition par
∣x∣<1|x|\lt 1∣x∣<1
S=∑n=0∞nx2n=∑n=0∞n(x2)n\displaystyle S=\sum_{n=0}^{\infty}nx^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}n(x^2)^nS=n=0∑∞nx2n=n=0∑∞n(x2)n
Vu que pour n=0n=0n=0, le terme est nul, on peut écrire :
S=∑n=1∞n(x2)n\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}n(x^2)^nS=n=1∑∞n(x2)nSoit x2=yx^2=yx2=y (donc à forciori ∣y∣<1|y|\lt 1∣y∣<1)
S=∑n=1∞nyn\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}n y^nS=n=1∑∞nyn
En mettant yyy en facteur :
S=y∑n=1∞nyn−1\displaystyle S=y\sum_{n=1}^{\infty}n y^{n-1}S=yn=1∑∞nyn−1Pense aux dérivées/primitives
∑n=1∞nyn−1= ∑n=1∞ddy(yn)=ddy(∑n=1∞yn)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n y^{n-1}=\ \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{d}{dy}(y^n)=\dfrac{d}{dy}(\sum_{n=1}^{\infty}y^n)n=1∑∞nyn−1= n=1∑∞dyd(yn)=dyd(n=1∑∞yn)
Pense aux suites géométriques
∑n=1∞yn=11−y\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}y^n=\dfrac{1}{1-y}n=1∑∞yn=1−y1En dérivant :
ddy(11−y)=1(1−y)2\dfrac{d}{dy}(\dfrac{1}{1-y})=\dfrac{1}{(1-y)^2}dyd(1−y1)=(1−y)21D'où : ∑n=1∞nyn−1=1(1−y)2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n y^{n-1}=\dfrac{1}{(1-y)^2}n=1∑∞nyn−1=(1−y)21
En multipliant par yyy, S=y(1−y)2S=\dfrac{y}{(1-y)^2}S=(1−y)2y
S=x2(1−x2)2\boxed{S=\dfrac{x^2}{(1-x^2)^2}}S=(1−x2)2x2
Vérifie tout ça de près.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Merci à la modération (@Noemi) d'avoir rectifié la faute d'orthographe du titre et d'avoir re-écrit la formule de l'énoncé.
Le scan était "tolérable" vu que @abdellatifbiqaa avait scanné sa formule écrite "à la main"; visiblement il ne connait pas le latex...!