Chrystal, Algebra 1, p94, exercice 47 (pas dans le cadre de l'école)

[Saada Mehdi]

Bonjour.
Je travaille sur le livre de Chrystal, Algebra 1 (an elementary textbook for the higher classes of secondary school). Je travaille seul, p94, exercice 47..
Voici l'énoncé: Montrer qu'une fonction polynomiale f(x) non rationnelle divisée par (x-a)(x-b), aura pour reste (f(b)(x-a) - f(a)(x-b))(b-a)
J'ai trouvé. Maintenant le livre demande de généraliser ça à a, b et c,
donc exprimer (symétriquement) le reste de la division polynomiale de f(x) par ((x-a)(x-b)(x-c))
Est-ce que quelqu'un aurait assez de courage pour m'aider à la généralisation à a, b et c ?
Pour l'instant j'ai:
f(x) = S(x)(x-a)(x-b)(x-c) + R(c)(x-a)(x-b) - (f(b)(x-a) - f(a)(x-b))/(a-b)
or on a R(c) = [ f(c)(a-b) + f(b)(c-a) + f(a)(b-c) ] / (a-b)(b-c)(c-a)
donc on a le reste d'une division de f(x) par (x-a)(x-b)(x-c) =
(x-a)(x-b)[f(c)(a-b) + f(b)(c-a) + f(a)(b-c)]/(a-b)(b-c)(c-a) - f(b)(x-a) + f(a)(x-b))/(a-b)
Et là je ne sais plus, je n'y vois plus rien. Mais ce n'est clairement pas ce qu'il faut trouver. Est-ce que c'est bon jusque là ?
Je vous remercierais jamais assez si vous m'aidez à traverser ces quelques exercices de fin de chapitre... Je suis à ma limite

Mehdi

[Black-Jack]

@Saada-Mehdi a dit dans Chrystal, Algebra 1, p94, exercice 47 (pas dans le cadre de l'école) :

f(x) = S(x)(x-a)(x-b)(x-c) +

f(x) = S(x)(x-a)(x-b)(x-c) + R(x)

f(a) = R(a)
f(b) = R(b)
f(c) = R(c)

R(x) = f(a)(x-b)(x-c)/[(a-b)(a-c)] + f(b)(x-a)(x-c)/[(b-a)(b-c)] + f(c)(x-a)(x-b)/[(c-a)(c-b)]

Et en remettant au même dénominateur ...

$R(x)=\frac{f(a).(x-b).(x-c).(b-c)+f(b).(x-a).(x-c).(c-a)+f(c).(x-a).(x-b).(a-b)}{(a-b).(b-c).(a-c)}$

Pas vérifié.