Nombre Complexe préparation
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JJonathan 0 dernière édition par
Bonjour, j'ai besoin de votre aide s'ils vous plaît. Comment peut on resoudre z puissance n égal -1 dans C. Je suis en prépa et j'ai vraiment besoin de vous
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@Jonathan-0 , bonjour,
Je te conseille de passer par la forme exponentielle
Soit z=reiθz=re^{i\theta}z=reiθ et −1=eiπ-1=e^{i\pi}−1=eiπ
zn=−1z^n=-1zn=−1 <=> (reiθ)n=eiπ(re^{i\theta})^n=e^{i\pi}(reiθ)n=eiπ
c'est à dire : rneinθr^n e^{i n\theta}rneinθ=eiπe^{i\pi}eiπ
Par identification des modules entre eux :
rn=1r^n=1rn=1 <=> r=1r=1r=1
Par identification des arguments entre eux :
nθ=π+2kπn\theta=\pi+2k\pinθ=π+2kπ <=> θ=πn+2kπn\theta=\dfrac{\pi}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}θ=nπ+n2kπ , k∈Zk\in Zk∈ZTu conclus.
Tu trouveras toutes les valeurs de zzz en donnant à kkk toutes les valeurs naturelles entre 000 et n−1n-1n−1