Image d'une application linéaire

[Wil Fried]

Bonsoir à tous...
Svp, comment pourrais-je déterminer l'image d'une telle application linéaire :
L'application f qui part de R³ dans R⁶ qui a tout (x,y z) associe (x,0,y,0,z,0) ?

[mtschoon]

@Wil-Fried , bonjour,

Quelques suggestions possibles,

En passant par le noyau $Kerf$

$Kerf$ est l'ensemble des triplets $(x,y;z)$ de $R^3$ tels que $f((x,y,z)=(0,0,0,0,0,0)$
Tu trouves $x=y=z=0$
donc $dim(Kerf)=0$

Théorème du rang :
$dim(Imf)+dim(Kerf)=dim{R}^3$
$dim(Imf)+0=3$ donc $dim(Imf)=3$

$Imf$ est donc un sev de $R^6$ de dimension 3

Tu cherches une base.

Tu peux utiliser la base canonique $(e_1,e_2,e_3)$ de $R^3$
$e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)$
Tu exprimes $f(e_1),f(e_2,f(e_3)$
$f(e_1)=(1,0,0,0,0,0)$ tu continues d'exprimer $f(e_2),f(e_3)$

$(f(e_1),f(e_2,f(e_3))$ est une partie génératrice de $Imf$.
Vu que $Imf$ est de dimension 3, c'est une base.

Tu peux exprimer tout vecteur de $Imf$ dans cette base.

[Wil Fried]

@mtschoon Merci beaucoup

[mtschoon]

De rien @Wil-Fried et bon week-end.