Image d'une application linéaire


  • Wil Fried

    Bonsoir à tous...
    Svp, comment pourrais-je déterminer l'image d'une telle application linéaire :
    L'application f qui part de R³ dans R⁶ qui a tout (x,y z) associe (x,0,y,0,z,0) ?


  • mtschoon

    @Wil-Fried , bonjour,

    Quelques suggestions possibles,

    En passant par le noyau KerfKerfKerf

    KerfKerfKerf est l'ensemble des triplets (x,y;z)(x,y;z)(x,y;z) de R3R^3R3 tels que f((x,y,z)=(0,0,0,0,0,0)f((x,y,z)=(0,0,0,0,0,0)f((x,y,z)=(0,0,0,0,0,0)
    Tu trouves x=y=z=0x=y=z=0x=y=z=0
    donc dim(Kerf)=0dim(Kerf)=0dim(Kerf)=0

    Théorème du rang :
    dim(Imf)+dim(Kerf)=dimR3dim(Imf)+dim(Kerf)=dim R^3dim(Imf)+dim(Kerf)=dimR3
    dim(Imf)+0=3dim(Imf) +0=3dim(Imf)+0=3 donc dim(Imf)=3dim(Imf)=3dim(Imf)=3

    ImfImfImf est donc un sev de R6R^6R6 de dimension 3

    Tu cherches une base.

    Tu peux utiliser la base canonique (e1,e2,e3)(e_1,e_2,e_3)(e1,e2,e3) de R3R^3R3
    e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0) , e_3=(0,0,1)e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)
    Tu exprimes f(e1),f(e2,f(e3)f(e_1), f(e_2,f(e_3)f(e1),f(e2,f(e3)
    f(e1)=(1,0,0,0,0,0)f(e_1)=(1,0,0,0,0,0)f(e1)=(1,0,0,0,0,0) tu continues d'exprimer f(e2),f(e3)f(e_2), f(e_3)f(e2),f(e3)

    (f(e1),f(e2,f(e3))(f(e_1), f(e_2,f(e_3))(f(e1),f(e2,f(e3)) est une partie génératrice de ImfImfImf.
    Vu que ImfImfImf est de dimension 3, c'est une base.

    Tu peux exprimer tout vecteur de ImfImfImf dans cette base.


  • Wil Fried

    @mtschoon Merci beaucoup


  • mtschoon

    De rien @Wil-Fried et bon week-end.


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