Exercice sur les espaces vectoriels

Bonsoir...un coup de main svp!
Soit A l'espace vectoriel sur R des applications de N dans R.
Soit E le sous-ensemble de A des applications f telles que :
Pour tout n sup ou égal à 1, f(n+1)=af(n)+bf(n-1) : Relation (i). a,b éléments de R.
1-a) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de A
J'ai fais ça.
1-b) Soient alpha et bêta deux réels quelconques. Montrer qu'il existe une application unique $f$ de A telle que f(0)= alpha et f(1)= bêta et vérifiant la relation (i). Je ne sais pas comment résoudre cette question.

Bonjour,

@Wil-Fried , tu n'as pas obtenu de réponse rapide , car ta question 1)b) semble une "évidence" alors, démontrer une évidence n'est pas simple...et...on ne sait pas trop quoi dire...

La relation (i) définie une suite récurrente linéaire d'ordre 2.
Connaissant les 2 premiers termes f(0) et f(1) , (i) permet de définir de façon unique tous les termes, donc unicité de $f$ .

Tu peux éventuellement, expliciter cela sous forme matricielle

(i) peut se traduire par :

$a)×(f(n−1)f(n))\begin{pmatrix}f(n)\cr f(n+1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\ \ 1\cr b\ \ a\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}f(n-1)\cr f(n)\end{pmatrix}$

Pour $n = 1$ , tu obtiens ainsi :
$a)×(f(0)f(1))\begin{pmatrix}f(1)\cr f(2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\ \ 1\cr b\ \ a\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}f(0)\cr f(1)\end{pmatrix}$
c'est à dire
$a)×(αβ)\begin{pmatrix}f(1)\cr f(2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\ \ 1\cr b\ \ a\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\alpha\cr \beta\end{pmatrix}$
Avec une petite récurrence, tu peux prouver facilement que :

$a)n×(αβ)\begin{pmatrix}f(n)\cr f(n+1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\ \ 1\cr b\ \ a\end{pmatrix}^n\times \begin{pmatrix}\alpha\cr \beta\end{pmatrix}$

J'ignore si c'est l'esprit de ton exercice.

A tout hasard, je te mets, seulement pour consultation, un lien sur les récurrences linéaires d'ordre 2 (notations à adapter), pour trouver une expression explicite des solutions de (i), mais je ne pense pas que ce soit demandé dans ton exercice.

https://membres-ljk.imag.fr/Bernard.Ycart/mel/ev/node10.html

Bon courage .

@mtschoon Bonjour, merci beaucoup

De rien @Wil-Fried mais je ne suis pas sûre que l'explication proposée soit celle attendue dans ton exercice.
Tu as au moins une explication !

@mtschoon Une question un peu bizarre quand même!
C'est un exercice du concours EDHEC de la session 1982 option économie.
Merci bien pour vos explications.

De rien @Wil-Fried et bon travail !