Montrer que des vecteurs sont linéairement dépendants

Bonjour, un coup de main svp :
On me demande de montrer que u=(1,0,1) v=(1,-2,3) et w=(1,2,-1) sont linéairement dépendants.
Ce que j'ai voulu faire, c'est de montrer qu'ils ne sont pas indépendants, si j'y arrive, alors j'aurais montrer qu'ils sont dépendants.

Du coup, je dis que u,v et w sont indépendants si pour des réels a,b et c on a aU+bV+cW=0==> a=b=c=0

J'obtiens le système suivant :
a+b+c=0
-b+2c=0
a+3b-c=0
En résolvant ce système, j'obtiens que a=b=c=0.
Alors j'en conclu que U,V et W ne sont pas dépendants, c'est-à-dire qu'ils sont indépendants.
Mais cela est contraire à ce qu'on me demande de démontrer! C'est là que je suis perdu.

Par ailleurs, dans la correction, ils dis que W=2U-V.
Ce qui est vrai lorsqu'on essaie de vérifier.
Mais moi je ne comprend pas pourquoi est-ce que je passe par une définition correcte et j'obtiens une contradiction.

@Wil-Fried , bonjour,

Je pense que tu as fait tout simplement une erreur à la seconde équation.
C'est $- 2 b + 2 c = 0$ au lieu de $- b + 2 c = 0$

@Wil-Fried , j'espère qu'après la modification proposée, tu n'as plus de contradiction.
Le système peutse ramener à ${a+2b=0b=c\begin{cases}a+2b=0\cr b=c\end{cases}$

On a deux équations à 3 inconnues donc infinité de solutions.

En particulier , en prenant $a = 2$ , on obtient $b = c = - 1$
c'est à dire $2 U - V - W = 0$ <=> $W = 2 U - V$ ce qui est la réponse de la correction.

@mtschoon Oh oui merci!
J'aimerais savoir, lorsqu'on demande si une famille est libre ou pas, qu'est-ce qu'on doit faire en premier ?
Faire comme je l'ai fais ?

Et lorsqu'on demande de montrer que la famille est liée ? Je fais encore comme je l'ai fais ?

@Wil-Fried,

Bien sûr, si tu "vois" (seulement par observation) une combinaison linéaire nulle, tu peux conclure directement que la famille est liée.

Sinon, je trouve que ta méthode est bonne.

@mtschoon D'accord, mercii

De rien et bon travail @Wil-Fried