Ensemble des solutions f(x+y)=f(x)+f(y)

Bonjour,

Je n’arrive pas à cet exercice , pourriez-vous m’aider svp?

Voici l’énoncé :

On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions f : R —>R dérivables telles que :

Pour tout (x, y) appartenant à R ^ 2
f(x + y) = f(x) + f(y)

1)Soit y appartenant à R et soit f : R —> R dérivable. Justifier que la fonction g:x —>f(x + y) définie sur R, est dérivable, et déterminer sa dérivée.

2)On suppose qu'il existe une fonction f solution du problème initial. Déduire de la question précédente que: pour tout y appartenant à R. f’(y) =f’(0). puis en déduire la forme de f.

3)En raisonnant par analyse-synthèse, conclure.

4)Déterminer de la même manière l'ensemble des fonctions f : R —> R dérivables telles que :

Pour tout (x, y) appartenant à R ^ 2 , f(x + y) = f(x) * f(y)

Merci d’avance

Merci @MN11 d'avoir ouvert un autre topic parce que celui de 2013 était particulier, ne sachant pas si $f$ était dérivable ou non (d'où deux versions).

Quelques pistes pour l'équation fonctionnelle $f(x+y)=f(x)+f(y)\boxed{f(x+y)=f(x)+f(y)}$

g est dérivable car composée de deux fonctions dérivables
$x$ --> $x + y$ --> $f (x + y)$

En utilisant la dérivée d'une fonction composée :
En posant $h (x) = x + y$ , tu peux écrire $g (x) = f (h (x)) = f o h (x)$

En utilisant la dérivée d'une fonction composée :
On dérive par rapport à x
$g′(x)=f′(x+y)×(x+y)′=f′(x+y)×1=f′(x+y)g'(x)=f'(x+y)\times (x+y)'=f'(x+y)\times 1=f'(x+y)$

Vu que $f (x + y) = f (x) + f (y)$ , en dérivant par rapport à $x$ , on obtient $f^{'} (x + y) = f^{'} (x) + 0 = f^{'} (x)$ c'est à dire $g^{'} (x) = f^{'} (x)$

On sait que $f^{'} (x + y) = f^{'} (x)$
En prenant $x = 0$ , on obtient, pour tout $y$ , $f^{'} (y) = f^{'} (0)$
$f^{'} (0)$ est une constante. En l'appelant $a$ , on obtient
$f^{'} (y) = a$

En redonnant à $x$ son rôle de variable, on peut écrire, pour tout $x$ , $f^{'} (x) = a$ donc f est de la forme $f (x) = a x + b$

Analyse : en prouvant que $f (0) = 0$ (en prenant $x = y = 0$ dans l'équation fonctionnelle), on prouve que pour tout $x$ $f(x)=ax\boxed{f(x)=ax}$

Synthèse :
On part de "pour tout $x$ , $f (x) = a x$ ", donc $f (y) = a y$ et $f (x + y) = a (x + y)$ , et on remplace dans l'équation fonctionnelle pour prouver qu'elle est vérifiée.

On tire la conclusion.

Pour l'équation $f(x+y)=f(x)f(y)\boxed{f(x+y)=f(x)f(y)}$ , je te mets une Vidéo un lien
https://www.youtube.com/watch?v=L2GmWXk6sPA

Bon travail et reposte si besoin.