Petit exercice sur les Séries numériques
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Wil Fried dernière édition par
Bonsoir à tous. Besoin svp d'un petit coup de pouce.
J'aimerais savoir comment calculer la somme de la série de terme général n*(3^(n-1)/(n-1)!). La somme va de 1 à +00.
Me concernant, c'est le n en facteur qui me pose problème. Sinon je remarque clairement que ça a trait à une série exponentielle et sans le n en facteur, la somme aurait valu exponentielle de 3. Mais avec le n en facteur, je ne sais pas trop comment la calculer.
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Ddraxio dernière édition par
Bonjour @Wil-Fried ,
Tu as compris l'objectif ,
pour te débarrasser du n tu peux l'écrire
n = (n-1) +1
et obtenir deux séries de type exponentiel.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour,
@Wil-Fried , une piste possible si tu le souhaites : passer par la dérivée,
Sauf erreur, la somme que tu cherches vaut 4e34e^34e3
Pistes de calculs possibles
S=∑n=1∞nxn−1(n−1)!=∑n−1∞(xn(n−1)!)′\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty n\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n-1}^\infty \biggr(\dfrac{x^{n}}{(n-1)!}\biggr)'S=n=1∑∞n(n−1)!xn−1=n−1∑∞((n−1)!xn)′
S=(∑n=1∞xn(n−1)!)′\displaystyle S=\biggr(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{x^{n}}{(n-1)!}\biggr)'S=(n=1∑∞(n−1)!xn)′
Or, ∑n=1∞xn(n−1)!=x∑n=1∞xn−1(n−1)!=xex\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{x^{n}}{(n-1)!}=x\sum_{n=1}^\infty \dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!}=xe^xn=1∑∞(n−1)!xn=xn=1∑∞(n−1)!xn−1=xex
Donc S=(xex)′=1ex+xex=(x+1)exS=(xe^x)'=1e^x+xe^x=(x+1)e^xS=(xex)′=1ex+xex=(x+1)ex
Tu n'as plus qu'à remplacer xxx par 333
Bons calculs.
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Wil Fried dernière édition par
@draxio Bonjour, merci beaucoup
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Wil Fried dernière édition par
@mtschoon Bonjour, merci pour votre aide.
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mtschoon dernière édition par
De rien @Wil-Fried ,
Reposte si besoin.