Exercice Inégalité des accroissements finis
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Wil Fried dernière édition par Wil Fried
Bonjour, svp j'ai besoin d'un coup de main.
On demande de démontrer pour tout n sup ou égal à 1 que : 1/[2(n+1)^(3/2)] <= 1/(racine carrée de n) - 1/(Racine carrée de n+1) <= 1/(2n^(3/2))Je ne sais pas comment utiliser l'inégalité des accroissements finis pour montrer cela svp.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@Wil-Fried bonjour/bonsoir,
Il y a différentes variantes de cette inégalité et j'ignore ce que te dit ton cours.
A tout hasard, je te mets un lien :
https://math.unice.fr/~ah/ens/cours/anal11/taf.pdfVu ce que tu dois démontrer, celle qui est la mieux adaptée est celle-ci :
Soit fff dérivable sur I=[a,b]I=[a,b]I=[a,b] avec a<ba\lt ba<b et mmm et MMM deux nombres réels :
Si m≤f′≤M\boxed{m\le f'\le M}m≤f′≤M sur III, alors :
m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a)\boxed{m(b-a)\le f(b)-f(a)\le M(b-a)}m(b−a)≤f(b)−f(a)≤M(b−a)Remarque :
La condition plus restrictive est : fff continue sur [a,b][a,b][a,b] dérivable sur ]a,b[]a,b[]a,b[, mais dans le lien donné, il n y a pas la nuance.En prenant
a=na=na=n, b=n+1b=n+1b=n+1
f(x)=−1xf(x)=-\dfrac{1}{\sqrt x}f(x)=−x1 donc f′(x)=12x3/2f'(x)=\dfrac{1}{2x^{3/2}}f′(x)=2x3/21
ça doit marcher.Vérifie, j'ai fait vite.
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Wil Fried dernière édition par
@mtschoon Que valent m et M ?
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Encadre la dérivée :
Pour n≤x≤n+1n\le x\le n+1n≤x≤n+1,
12(n+1)3/2≤f′(x)≤12(n)3/2\dfrac{1}{2(n+1)^{3/2}}\le f'(x) \le \dfrac{1}{2(n)^{3/2}}2(n+1)3/21≤f′(x)≤2(n)3/21
Tu obiens ainsi mmm et MMM
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Wil Fried dernière édition par
@mtschoon Super! Merci beaucoup
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mtschoon dernière édition par
Vu que tout semble bon pour toi maintenant, c'est parfait.
Bon DM @Wil-Fried .