Structure algébrique

Bonjour, je dois répondre à la question suivante : Soit ( G ; ★ ) un groupe et H une partie non vide, finie de G, qui est stable. Montrer alors que H est un sous-groupe.

On doit donc de montrer que l'élément neutre de G appartient à H et aussi que tout élément de H admet un inverse.
Je pose f : G --> G , x |--> a ★ x. avec a un élément fixer de H
Je montre que f est injective ( : f(w) = f(z) ssi a ★ w = a ★ z ssi a^(-1) ★ (a ★ w ) = a^(-1) ★ (a ★ z ) ssi w = z ) et je déduis qu'elle est aussi surjective car f est injective et est une application d'un ensemble vers lui-même donc de même Cardinal.

Est-ce que je peux déduire que comme H est inclu dans G alors f : H --> H , x |--> a ★ x est aussi bijective ?
Comme ca, je pourrais montrer que comme a appartient à H, alors f(x) = x ssi a ★ x = a admet une unique solution qui est l'élément neutre.

Cependant, je ne suis vraiment pas sur de ma méthode de résolution, spécialement à l'endroit où je déduis que f : H --> H , x |--> a ★ x est aussi bijective.

Je vous remercie d'avance de vos retours !

@Freezebi , bonjour,

Par théorème, vu que H est non vide, stable pour la loi * , il te reste à prouver que H contient le symétrique (pour la loi * définie dans G) de chacun de ses éléments.

Tu peux regarder l'exercice 21 ici (et sa correction)
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00020.pdf

Merci pour votre retour ! Donc selon vous,
Je peux affirmer que si f : G --> G , x |--> a ★ x est bijective alors comme H est inclu dans G alors l'application f : H --> H , x |--> a ★ x est aussi bijective ?

@Freezebi ,

Modification :

Je viens de regarder le début de ta démonstration de $f$ bijective de $G$ vers $G$ et j'ai un doute sur ta démarche. (voir mon post suivant).
La démonstration dans le lien donné me semble plus sûre...

D'accord, je vous remercie de tous vos conseils.

@Freezebi , re-bonjour,

Je regarde de près le début de ton explication relative à la bijection dont tu parles ( pas de la restriction à H qui était ta question, mais de l'application de G vers G ) et j'ai un doute.

Au début de ton explication sur l'application $f$ de $G$ vers $G$ tu indiques qu'elle est aussi surjective car f est une application d'un ensemble vers lui-même donc de même Cardinal.

Je reste perplexe !

Un contre-exemple qui n'a rien à voir mais à propos de l'explication de la "surjection".
Soit $f$ application de $R$ vers $R$ telle que $f (x) = e x p (x)$
$f$ est bien injective (démonstration aisée) mais elle n'est pas surjective car les réels négatifs n'ont pas d'antécédent .
Ce n'est pas par ce qu'on a une application injective de G vers G qu'elle est surjective...

Je te conseille la démonstration du lien donné.

Merci pour votre intervention !
Par curiosité, si F : G --> G : x |--> a ★ x est injective alors comme H est inclus dans G, peut-on en déduire que f : H --> H : x |--> a ★ x est aussi injective ? En effet, si cela s'avère vrai, comme H est une partie finie de G ( donc pas comme R dans votre exemple ) on peut en donc normalement déduire que f est aussi bijective car même Cardinal.
Cette question a uniquement pour but d'approfondir mes connaissances globales, je suivrai tout de même votre conseil qui m'oriente vers la démonstration du lien.

Je vous remercie du temps que vous avez consacré afin de m'aider, Merci !

@Freezebi , re-bonjour,

C'est très bien d'approfondir tes connaissances.

Cette fois, ta démarche me parait correcte.

Le contre - exemple que je t'ai donné était relatif à l'application $f$ de $G$ vers $G$ (groupe qui n'est pas forcément fini)
Tu avais prouvé l'injectivité, mais ta démarche ne prouvait pas la surjectivité donc pas de bijectivité prouvée pour $f$ (de $G$ vers $G$ ).

Par contre maintenant , tu ne parles que d'injectivité de $f$ (de $G$ vers $G$ ), ce qui est suffisant pour ta démarche.
La restriction de $f$ à $H$ est bien une application de $H$ vers $H$ vu que $H$ est stable pour $*$ .
$f$ étant injective de $G$ vers $G$ , la restriction de $f$ à $H$ est injective de $H$ vers $H$ .
Comme $H$ est fini, cette restriction de $f$ à $H$ , qui est injective, est forcément bijective.

Tout me semble bon.

Merci pour tout !

De rien @Freezebi .
Bon travail.