Équation polynômiale

Bonsoir. Svp, j'ai du mal avec cette équation :
P(x²)=P(x)*P(x+1)
Résolution dans C

Cet exercice semble être l'exercice 55 ici :
https://www.xif.fr/public/prépas-dupuy-de-lôme-maths/exercices-sup/algèbre/polynômes.pdf

Tu peux consulter la "correction" pour te donner des idées.

@mtschoon Bonsoir, merci à vous. J'ai bien regardé la correction mais j'avoue que je ne comprend pas grand-chose. Déjà, je me disais qu'il fallait passer par le degré du polynôme. Après bon, je vois qu'ils ont plutôt utilisé ses racines. Puis tout le raisonnement, je ne comprend plus rien.
C'est possible svp de m'éclairer un peu ?

@Wil-Fried , bonsoir.
Ton énoncé ne donne aucune indication contrairement à certains...
Passer par le degré du polynôme ne me parait pas être une bonne idée (sauf éventuellement pour voir ce que ça donne avec les degrés 1 ou 2).
Demain, je te donnerais des explications, si tu as besoin.

@mtschoon Oui, j'en ai besoin des explications. J'attends donc demain. Merci déjà et à demain.

@Wil-Fried , bonjour,
Je tente de t'éclairer.
Soit ( * ) la propriété caractéristique $P(X^2)=P(X)P(X+1)$

1er cas (trivial)
Le polynôme nul convient pour $P$ vu que dans ce cas, ( * ) est bien satisfaite : $0=0×00=0\times 0$

2ème cas : Le polynôme $P$ n'est pas nul.

Idée : on cherche les racines possibles de $P$ pour pouvoir le factoriser

Soit $a=reiθa=re^{i\theta}$ une racine de $P$ , c'est à dire $P (a) = 0$

i )
Pour $X = a$ , ( * ) devient $P(a^2)=P(a)P(a+1)=0.P(a+1)=0$
Donc $a^2$ est une racine de $P$
Pour $X=a^2$ , ( * ) devient $P(a^4)=P(a^2)P(a^2+1)=0.P(a^2+1)=0$
Donc $a^4$ est une racine de $P$
etc
Tu poursuis le raisonnement et tu trouves que $P(a^{2^n})=0$ donc $a2n=r2ne2niθa^{2^n}=r^{2^n}e^{2^ni\theta}$ est racine de $P$

$P$ ne peux avoir qu'un nombre fini de racines donc nécessairement $r = 0$ c'est à dire $a=0\boxed{a=0}$ ou r=1 c'est à dire $∣a∣=1\boxed{|a|=1}$

ii )
Pour $X = a - 1$ , ( * ) devient : $P((a-1)^2)=P(a-1)P(a)=P(a-1).0=0$
Donc $a-1)^2$ est racine de $P$

Avec le même raisonnement que pour i), il n'y a que 2 possibilités $a-1)^2=0$ c'est à dire $a=1\boxed{a=1}$ ou $a-1)^2|=1$ c'est à dire $∣a−1∣=1\boxed{|a-1|=1}$

Il faut expliciter $∣ a - 1 ∣ = 1$ ( vu que |a|=1, $a=eiθa=e^{i\theta}$ )

$∣ a - 1 ∣ = 1$ <=> $∣eiθ−1∣=1|e^{i\theta}-1|=1$ <=> $∣cosθ+isin⁡θ−1∣=1|cos\theta+i\sin\theta-1|=1$
c'est à dire $∣(cosθ−1)+isin⁡θ∣=1|(cos\theta-1)+i\sin\theta|=1$
c'est à dire $(cosθ−1)2+sin2θ=1\sqrt{(cos\theta-1)^2+sin^2\theta}=1$
c'est à dire $(cosθ−1)2+sin2θ=1(cos\theta-1)^2+sin^2\theta=1$

Tu développes, tu transformes avec $cos2θ+sin2θ=1cos^2\theta+sin^2\theta=1$ , et tu dois arriver à $cosθ=12cos\theta=\dfrac{1}{2}$ , c'est à dire $[2π]\theta=\pm\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]$
D'où $a=eiπ3a=e^{i\dfrac{\pi}{3}}$ ou $a=e−iπ3a=e^{-i\dfrac{\pi}{3}}$

Ave les notations des racines cubiques de 1 qui valent $1,j,j^2$ , on peut alléger les écritures avec $a=eiπ3=−j2\boxed{a=e^{i\dfrac{\pi}{3}}=-j^2}$ et $a=e−iπ3=−j\boxed{a=e^{-i\dfrac{\pi}{3}}=-j}$

Bilan de toutes cette étude :
Les racines possibles de $P$ sont $0,1,−j,−j2\boxed{0 ,1,-j,-j^2}$

Conséquence
$P$ se factoriser en :
$P(X)=λ(X−0)α(X−1)β(X+j)γ(X+j2)δP(X)=\lambda(X-0)^\alpha(X-1)^\beta(X+j)^\gamma(X+j^2)^\delta$ , c'est à dire:
$P(X)=λXα(X−1)β(X+j)γ(X+j2)δ\boxed{P(X)=\lambda X^\alpha(X-1)^\beta(X+j)^\gamma(X+j^2)^\delta}$

(avec $λ≠0\lambda\ne 0$ vu que l'on est dans les cas où $P$ n'est pas nul, et $α,β,γ,δ\alpha,\beta,\gamma,\delta$ naturels)

En écrivant ( * ) avec cette expression de $P (X)$ , après calculs et identification, tu dois trouver l'expression finale de $P (X)$

$P(X)=Xα(X−1)α\boxed{P(X)=X^\alpha(X-1)^\alpha}$

Bon courage pour dépouiller et compléter tout ça...

@mtschoon Svp, je suis sur la compréhension de la première partie. Et je n'ai pas compris ceci :
P ne peux avoir qu'un nombre fini de racines donc nécessairement $r = 0$ c'est à dire $our=1a=0\boxed{a=0}a=0 ou r=1$ c'est à dire $∣a∣=1∣a∣=1∣a∣=1∣a∣=1\boxed{|a|=1}∣a∣=1$
Je ne comprend pas cette implication svp

@Wil-Fried ,
$a^{2^n}|=r^{2^n}$
Si $r≠0r\ne 0$ et $r≠1r\ne1$ , $r^{2^n}$ peut prendre une infinité de valeurs donc il y aurait une infinité de racines pour $P$ ce qui est impossible.

Bon travail.

@mtschoon Merci beaucoup

De rien @Wil-Fried .

Cet exercice n'était pas facile car la démarche n'était pas indiquée..
Sur le web, j'ai vu ce type d'exercice avec des questions intermédiaires pour arriver au résultat final. Bien plus simple ainsi...

Bon travail.