Équation polynômiale


  • Wil Fried

    Bonsoir. Svp, j'ai du mal avec cette équation :
    P(x²)=P(x)*P(x+1)
    Résolution dans C


  • mtschoon

    @Wil-Fried , bonjour,

    Cet exercice semble être l'exercice 55 ici :
    https://www.xif.fr/public/prépas-dupuy-de-lôme-maths/exercices-sup/algèbre/polynômes.pdf

    Tu peux consulter la "correction" pour te donner des idées.


  • Wil Fried

    @mtschoon Bonsoir, merci à vous. J'ai bien regardé la correction mais j'avoue que je ne comprend pas grand-chose. Déjà, je me disais qu'il fallait passer par le degré du polynôme. Après bon, je vois qu'ils ont plutôt utilisé ses racines. Puis tout le raisonnement, je ne comprend plus rien.
    C'est possible svp de m'éclairer un peu ?


  • mtschoon

    @Wil-Fried , bonsoir.
    Ton énoncé ne donne aucune indication contrairement à certains...
    Passer par le degré du polynôme ne me parait pas être une bonne idée (sauf éventuellement pour voir ce que ça donne avec les degrés 1 ou 2).
    Demain, je te donnerais des explications, si tu as besoin.


  • Wil Fried

    @mtschoon Oui, j'en ai besoin des explications. J'attends donc demain. Merci déjà et à demain.


  • mtschoon

    @Wil-Fried , bonjour,
    Je tente de t'éclairer.
    Soit ( * ) la propriété caractéristique P(X2)=P(X)P(X+1)P(X^2)=P(X)P(X+1)P(X2)=P(X)P(X+1)

    1er cas (trivial)
    Le polynôme nul convient pour PPP vu que dans ce cas, ( * ) est bien satisfaite : 0=0×00=0\times 00=0×0

    2ème cas : Le polynôme PPP n'est pas nul.

    Idée : on cherche les racines possibles de PPP pour pouvoir le factoriser

    Soit a=reiθa=re^{i\theta}a=reiθ une racine de PPP, c'est à dire P(a)=0P(a)=0P(a)=0

    i )
    Pour X=aX=aX=a, ( * ) devient P(a2)=P(a)P(a+1)=0.P(a+1)=0P(a^2)=P(a)P(a+1)=0.P(a+1)=0P(a2)=P(a)P(a+1)=0.P(a+1)=0
    Donc a2a^2a2 est une racine de PPP
    Pour X=a2X=a^2X=a2, ( * ) devient P(a4)=P(a2)P(a2+1)=0.P(a2+1)=0P(a^4)=P(a^2)P(a^2+1)=0.P(a^2+1)=0P(a4)=P(a2)P(a2+1)=0.P(a2+1)=0
    Donc a4a^4a4 est une racine de PPP
    etc
    Tu poursuis le raisonnement et tu trouves que P(a2n)=0P(a^{2^n})=0P(a2n)=0 donc a2n=r2ne2niθa^{2^n}=r^{2^n}e^{2^ni\theta}a2n=r2ne2niθ est racine de PPP

    PPP ne peux avoir qu'un nombre fini de racines donc nécessairement r=0r=0r=0 c'est à dire a=0\boxed{a=0}a=0 ou r=1 c'est à dire ∣a∣=1\boxed{|a|=1}a=1


  • mtschoon

    ii )
    Pour X=a−1X=a-1X=a1, ( * ) devient : P((a−1)2)=P(a−1)P(a)=P(a−1).0=0P((a-1)^2)=P(a-1)P(a)=P(a-1).0=0P((a1)2)=P(a1)P(a)=P(a1).0=0
    Donc (a−1)2(a-1)^2(a1)2 est racine de PPP

    Avec le même raisonnement que pour i), il n'y a que 2 possibilités (a−1)2=0(a-1)^2=0(a1)2=0 c'est à dire a=1\boxed{a=1}a=1 ou ∣(a−1)2∣=1|(a-1)^2|=1(a1)2=1 c'est à dire ∣a−1∣=1\boxed{|a-1|=1}a1=1

    Il faut expliciter ∣a−1∣=1|a-1|=1a1=1 ( vu que |a|=1, a=eiθa=e^{i\theta}a=eiθ )

    ∣a−1∣=1|a-1|=1a1=1 <=> ∣eiθ−1∣=1|e^{i\theta}-1|=1eiθ1=1 <=> ∣cosθ+isin⁡θ−1∣=1|cos\theta+i\sin\theta-1|=1cosθ+isinθ1=1
    c'est à dire ∣(cosθ−1)+isin⁡θ∣=1|(cos\theta-1)+i\sin\theta|=1(cosθ1)+isinθ=1
    c'est à dire (cosθ−1)2+sin2θ=1\sqrt{(cos\theta-1)^2+sin^2\theta}=1(cosθ1)2+sin2θ=1
    c'est à dire (cosθ−1)2+sin2θ=1(cos\theta-1)^2+sin^2\theta=1(cosθ1)2+sin2θ=1

    Tu développes, tu transformes avec cos2θ+sin2θ=1cos^2\theta+sin^2\theta=1cos2θ+sin2θ=1, et tu dois arriver à cosθ=12cos\theta=\dfrac{1}{2}cosθ=21, c'est à dire θ=±π3 [2π]\theta=\pm\dfrac{\pi}{3}\ [2\pi]θ=±3π [2π]
    D'où a=eiπ3a=e^{i\dfrac{\pi}{3}}a=ei3π ou a=e−iπ3a=e^{-i\dfrac{\pi}{3}}a=ei3π

    Ave les notations des racines cubiques de 1 qui valent 1,j,j21,j,j^21,j,j2, on peut alléger les écritures avec a=eiπ3=−j2\boxed{a=e^{i\dfrac{\pi}{3}}=-j^2}a=ei3π=j2 et a=e−iπ3=−j\boxed{a=e^{-i\dfrac{\pi}{3}}=-j}a=ei3π=j

    Bilan de toutes cette étude :
    Les racines possibles de PPP sont 0,1,−j,−j2\boxed{0 ,1,-j,-j^2}0,1,j,j2

    Conséquence
    PPP se factoriser en :
    P(X)=λ(X−0)α(X−1)β(X+j)γ(X+j2)δP(X)=\lambda(X-0)^\alpha(X-1)^\beta(X+j)^\gamma(X+j^2)^\deltaP(X)=λ(X0)α(X1)β(X+j)γ(X+j2)δ, c'est à dire:
    P(X)=λXα(X−1)β(X+j)γ(X+j2)δ\boxed{P(X)=\lambda X^\alpha(X-1)^\beta(X+j)^\gamma(X+j^2)^\delta}P(X)=λXα(X1)β(X+j)γ(X+j2)δ

    (avec λ≠0\lambda\ne 0λ=0 vu que l'on est dans les cas où PPP n'est pas nul, et α,β,γ,δ\alpha,\beta,\gamma,\deltaα,β,γ,δ naturels)

    En écrivant ( * ) avec cette expression de P(X)P(X)P(X), après calculs et identification, tu dois trouver l'expression finale de P(X)P(X)P(X)

    P(X)=Xα(X−1)α\boxed{P(X)=X^\alpha(X-1)^\alpha}P(X)=Xα(X1)α

    Bon courage pour dépouiller et compléter tout ça...


  • Wil Fried

    @mtschoon Svp, je suis sur la compréhension de la première partie. Et je n'ai pas compris ceci :
    P ne peux avoir qu'un nombre fini de racines donc nécessairement r=0r=0r=0 c'est à dire a=0a=0a=0​ our=1a=0\boxed{a=0}a=0​ ou r=1a=0a=0a=0 our=1 c'est à dire ∣a∣=1∣a∣=1∣a∣=1​∣a∣=1\boxed{|a|=1}∣a∣=1​a=1a=1a=1
    Je ne comprend pas cette implication svp


  • mtschoon

    @Wil-Fried ,
    ∣a2n∣=r2n|a^{2^n}|=r^{2^n}a2n=r2n
    Si r≠0r\ne 0r=0 et r≠1r\ne1r=1, r2nr^{2^n}r2n peut prendre une infinité de valeurs donc il y aurait une infinité de racines pour PPP ce qui est impossible.

    Bon travail.


  • Wil Fried

    @mtschoon Merci beaucoup


  • mtschoon

    De rien @Wil-Fried .

    Cet exercice n'était pas facile car la démarche n'était pas indiquée..
    Sur le web, j'ai vu ce type d'exercice avec des questions intermédiaires pour arriver au résultat final. Bien plus simple ainsi...

    Bon travail.


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