Exercices sur les ensembles

Exercice de mathématiques première année de licence
Bonsoir .
Exercice :
1 ) Montrer que A # B <==> existentiel a € A \ B ou b € B \ A.
2 ) Énumérer
a ) P ( { 1,2,3,4,5 } ).
b ) { 1,2,3,4 } × { 1,2,3,4 }.
3 ) Montrer que :
a ) A U ( B inter C ) = ( A U B ) inter ( A U C ).
b ) C ( A U B ) = CA inter CB.
J'ai besoin d'aide pour cet exercice, merci beaucoup pour vos réponses d'aide .

@medou-coulibaly , bonjour,

Je regarde un peu tes questions,

Pour la 1), je pense que tu as voulu écrire :
$A≠BA\ne B$ <=> $a∈A\exist \ a\in A$ \ $B$ ou $b∈B\exist\ b \in B$ \ $A$

Je te conseille de partir de la définition de $A = B$ c'est à dire $A$ et $B$ ont les mêmes éléments.

$A = B$ <=> $∀x∈A,x∈B\forall x \in A, x\in B$ et $∀y∈B,y∈A\forall y \in B, y\in A$
En prenant la contraposée de cette proposition, tu obtiens la proposition cherchée.

Pour la 2) a), indique ce que signifie "P"

S'il s'agit de l'ensemble des permutations de {1,2,3,4,5}, il y a 120 suites à énumérer car $5! = 120$ (ça fait beaucoup...) :

(1,2,3,4,5),(1,2,3,5,4), etc

Pour la 2) b), il s'agit du du produit cartésien des deux ensembles.
Tu a 16 couples à énumérer car $4×4=164\times 4=16$

(1,1),(1,2), etc

Pour la 3), il y a différentes façons .
ou bien raisonner (avec des ET et des OU)
ou bien faire des tableaux de vérité
ou bien faire des diagrammes de Venn ( seulement graphiques )

Vois ton cours pour savoir la méthode à utiliser.

@medou-coulibaly , une remarque.

Tu aurais dû mettre ton énoncé en Supérieur ( tu parles de première année de licence ) .
Il faudrait aussi que le titre reflète les questions posées.

Merci à la modération d'avoir déplacé ce topic.

Il faudrait bien sûr que @medou-coulibaly donne des titres explicites ...
Il y a dejà 3 topics avec le même titre (non explicite) et des sujets différents.

@mtschoon Madame svp la 1 ) je ne comprends pas bien la contraposée

Ce message a été supprimé !

@mtschoon ok d'accord j'ai compris madame

@medou-coulibaly , c'est bien d'avoir mis des titres signficatifs.

@medou-coulibaly a dit dans Exercices sur les ensembles :

@mtschoon Madame svp la 1 ) je ne comprends pas bien la contraposée

La contraposée de la proposition p => q est non q => non p

Ces deux propositions ont les mêmes valeurs de vérité.
Si l'une est vraie, l'autre est vraie.
Si l'une est fausse, l'autre est fausse.

@mtschoon Madame vous avez réécrit correctement ce que j'ai écrit.
Mais mon problème est que , j'obtiendrai la proposition cachée, c'est là mon soucis

@mtschoon la contraposée de A = B <==> ¥ x € A , ¥ x € B , ¥ y € B et ¥ € A

@medou-coulibaly ,

Tes écritures sont difficiles à lire. ( il faudrait utiliser le langage Latex pour que ça soit clair)

Je l'écris en français :
La proposition $A = B$ veut dire que :
Tout $x$ de $A$ appartient à $B$ ET tout $y$ de $B$ appartient à $A$

Pour écrire la contraposée :
on remplace = par $≠\ne$
On remplace pour tout par il existe
On remplace ET par OU

On obtient ainsi la proposition demandée par ton énoncé.

@mtschoon ok merci Madame je comprends.
Maintenant la 2 - a )
5! = 120
( 1,2,3,4,5 ) , ( 1,2,3,4,5 ) je répète cela ....
Ainsi que pour la b )
4 ×4 =16
( 1,2) , ( 1,1 ) c'est à répèter aussi...

@medou-coulibaly , le mot "répété. n'est pas clair

Pour la 2)a) si c'est bien de permutations dont-il s'agit, il faut théoriquement que tu donnes toutes les suites composées de ces 5 nombres...
C'est tellement lourd que cela semble..absurde...

Pour le 2)b) , tu n'as que 16 couples à donner. C'est plus raisonnable.
Donne ta réponse si tu souhaites une vérification.

@mtschoon ok d'accord j'ai compris

@mtschoon Madame merci , maintenant la 3 )
Vous avez parlé de deux méthodes différentes
raisonner (avec des ET et des OU) , comment cette méthodes se fait ?

@mtschoon pour la 2 - b )
( 1,2,3,4 ) , ( 1,2,3,4 )
(1,1) , (1,2) , (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4),(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)

@medou-coulibaly , bonsoir,

C'est bon pour la 2)b)

Pour la 3) tu peux traiter par raisonnement logique si tu n'as rien d'autre dans ton cours, mais un tableau de vérité est mieux si tu connais.

Je t'indique la démarche que tu peux faire pour le 3)a) si besoin.

Equivalences logiques

$x∈A∪(B∩C)x\in A\cup(B\cap C)$ <=> $x∈Ax\in A$ ou $x∈C)(x\in B\ et\ x \in C)$
c'est à dire $\in A \ ou \ B) et \ (x \in A \ ou \ C)$
c'est à dire $x∈A∪Cx\in A\cup B\ et\ x\in A\cup C$
c'est à dire $x∈(A∪B)∩(A∪C)x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$

Les deux parties $A∪(B∩C)A\cup(B\cap C)$ et $(A∪B)∩(A∪C)(A\cup B)\cap (A\cup C)$ ont les mêmes éléments, donc sont égales.

Remarque: cette propriété est la distributivité (à gauche) de $∪\cup$ par rapport rapport à $∩\cap$

Tu peux raisonner de même pour la 3)b) (qui est une des lois de Morgan)

@mtschoon ok madame je vais essayer

OK @medou-coulibaly et demande si tu n'y arrives pas.

@mtschoon Madame j'ai essayé à plus reprises mais je n'y arrive pas

@medou-coulibaly , je t'indique une démarche possible.

Même idée que pour le 3)a)

Ici, $C$ veut dire "complémentaire"

Equivalences logiques :

$x∈C(A∪B)x\in C(A\cup B)$ <=> $x∉(A∪B)x\notin (A\cup B)$
c'est à dire $x∉Ax\notin A$ et $x∉Bx\notin B$
c'est à dire $x∈C(A)x\in C(A)$ et $x∈C(B)x\in C(B)$
c'est à dire $x∈C(A)∩C(B)x\in C(A)\cap C(B)$

Les deux parties $C(A∪B)C(A\cup B)$ et $C(A)∩C(B)C(A)\cap C(B)$ ont les mêmes éléments, donc sont égales.

Essaie de revoir tout ça.

@mtschoon merci beaucoup madame je comprends maintenant, je vais beaucoup travailler dessus pour plus de compréhension. Je vous remercie

De rien @medou-coulibaly .

Je te conseille d'approfondir ton cours le mieux possible et refaire seul l'exercice pour être sûr de le maîtriser.

@mtschoon ok d'accord Madame

@mtschoon Madame voici un exo qui me fatigue dans son raisonnement :
Montrer que ∀ x ∈ IR |x-1| ≤ x^2-x+1
je reflechis dessus mais je ne sais pas où commencer.

@medou-coulibaly , re-bonjour,

Cet exercice n'ayant rien à voir avec les questions de ce topic, tu dois ouvrir une autre discussion (que tu peux mettre dans la rubrique Première).

@mtschoon ok d'accord madame