Question point fixe suite arithmético-géométrique
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Jérémie dernière édition par
Bonjour j'ai une question qui me tracasse,
En relisant le dernier chapitre fait en classe sur les suites réelles et complexes à la partie des suites arithmético-géométriques, quelque chose ne me semble pas clair.
Dans la 1ere étape de la méthode permettant de déterminer l'expression générale de (Un) on cherche un point fixe.
L'année dernière en terminale, on a vu qu'on pouvait appliquer le théorème de convergence monotone en montrant que la suite et croissante (ou décroissance) et majorée (ou minorée).
Si elle est aussi continue, par unicité des limites de (Un) et (Un+1) on peut trouver la limite. Ensuite on dit que l est solution que f(l) =lJe ne comprends pas la différence avec le théorème du point fixe, et aussi pourquoi le théorème de convergence monotone ne suffit pas à trouver l (l réel).
Merci de votre réponse.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@Jérémie , bonjour,
Je pense que ce sont les termes utilisés qui prêtent à confusion.J'essaie de t'éclairer.
Le théorème de convergence monotone indique que :
si une suite est croissante et majorée, elle est convergente
si une suite est décroissante et minorée, elle est convergente.Ce théorème ne donne pas la limite de la suite, il permet seulement de prouver que la limite lll existe.
Le théorème du point fixe indique que :
Soit fff une application de III vers III ( intervalle de RRR ), on dit que α\alphaα de III est un point fixe de fff lorsque : f(α)=αf(\alpha)=\alphaf(α)=αEn appliquant ce théorème aux suites récurrentes :
Si f est une application continue de III vers III (intervalle de RRR), définie par U0U_0U0 appartenant à III et une relation de récurrence Un+1=f(Un)U_{n+1}=f(U_n)Un+1=f(Un) qui converge vers lll, alors f(l)=lf(l)=lf(l)=l, donc lll est point fixe de fff.
