Groupe multiplicatif et sous-groupe d'un élément

Exercice :
I - Soit G un groupe multiplicatif et α un élément de G.On définit une loi, ○, en posant; ∀x, y ∈ G, x○ y = xαy.
Montrer que (G,○) est un groupe.
ll - ( ℤ,+) un groupe additif H ⊂ ℤ. Soit α le plus petit entier strictement positif de H.
Montrer que H = αℤ de ( H , + ) vers ( αℤ,+ ) est un sous-groupe de ( ℤ,+ ).
Besoin d'aide , merci pour toutes vos réponses d'aide.

@medou-coulibaly , bonjour, (n'oublie pas le "bonjour")

C'est bien d'avoir mis un titre , mais "sous-groupe d'un élément" ne veut rien dire.
Il vaudrait mieux écrire, par exemple, "Groupe multiplicatif et sous groupe d'un groupe additif"

Je regarde ton énoncé.
La formulation de la question II ) n'est pas claire. IL faudra mieux l'exprimer pour comprendre ce qu'il faut chercher véritablement.

Idées pour la I )

Tu sais que G est un groupe multiplicatif. Tu peux appeler $e$ l'élément neutre et $x^{-1}$ le symétrique de $x$ .

Avec les propriétés de groupe de $(G, *)$ , tu dois prouver que $(G, O)$ est un groupe.
Tu dois donc passer en revue les 4 propriétés qui caractérisent un groupe :

1 ) $O$ interne dans G, c'est à dire tu dois justifier que :
$∀x∈G\forall x \in G$ et $∀y∈G\forall y \in G$ , $xOy∈GxOy\in G$

2 ) $O$ associative , c'est à dire tu dois justifier que :
$∀x∈G\forall x \in G$ et $∀x∈G\forall x \in G$ et $∀z∈G\forall z \in G$ , $(x O y) O z = (x O y) O z$

3 ) $G, O)$ a un élément neutre $e^{'}$ , c'est à dire tu dois justifier que :
$∀x∈G\forall x \in G$ , $∃e′∈G\exist e' \in G$ , $x O e^{'} = e^{'} O x = x$

4 ) Tout élément $x$ de $G$ a un symétrique $x^{'}$ de $G$ , c'est à dire tu dois justifier que :
$∀x∈G\forall x \in G$ , $x O x^{'} = x^{'} O x = e^{'}$

Etudie ces 4 propriétés et demande si certaines te posent problème.

@mtschoon Bonjour , merci beaucoup madame j'ai bien vérifié les 4 chemins que vous m'aviez demandé,maintenant il reste la II )

@mtschoon http://ddmaths.free.fr/section558.html , pouvez m'envoyer ce lien ça allait plaire car je retrouve des exercices

@medou-coulibaly , bonjour,

Oui, le lien relatif aux quantificateurs est très intéressant.
http://ddmaths.free.fr/section558.html

@medou-coulibaly a dit dans Groupe multiplicatif et sous-groupe d'un élément :

@mtschoon Bonjour , merci beaucoup madame j'ai bien vérifié les 4 chemins que vous m'aviez demandé,maintenant il reste la II )

Tout à fait d'accord pour te donner des pistes pour la seconde question (bien que peu claire...)
Mais avant, il serait bon de faire deux choses :

Modifier le titre car, comme déjà indiqué, "sous-groupe d'un élément ne veut rien dire."
Tout sous-groupe est sous-groupe d'un groupe.

Donner les résultats que tu as trouvés à la première question :
Valeur de $e^{'}$ élément neutre
Valeur de $x^{'}$ symétrique de $x$ , en fonction de $x$ .
Si tes résultats sont bons, on pourra passer à la seconde question, sinon il faudra les revoir.

@mtschoon personnellement les saisies me fatigue car je travaille avec smart phone

@medou-coulibaly , je comprends très bien mais il serait bon que tu écrire tout simplement ce que tu as trouvé pour $e^{'}$ et pour $x^{'}$ du genre : e'=... et x'=... ; c'est tout.

Cela permettrait de savoir si tu as solutionné, ou non, la première question.

Bonjour,

@medou-coulibaly , ce n'est vraiment pas compliqué ( si on a trouvé le résultat, bien sûr ), d'écrire, sans Latex , e'= $α\alpha$ ^(-1) , puis la valeur de $x^{'}$ en fonction de $x$ .

Quelque indications (seulement des indications) éventuelles pour la seconde question (que je trouve toujours confuse)

i ) on peut peut-être commencer par prouver que $αZ\alpha Z$ (qui représente l'ensemble des multiples de $α\alpha$ ) est un sous-groupe de $(Z, +)$
En utilisant les propriétés caractéristiques d'un sous-groupe:
$αZ⊂Z\alpha Z \subset Z$
$\in \alpha Z$
$∀x,y∈αZ,x+(−y)∈αZ\forall x,y \in \alpha Z, x+(-y)\in \alpha Z$

ii ) Soit $H$ un sous groupe de (Z,+).
on peut démontrer l'égalité $H=αZ\boxed{H=\alpha Z}$

Partie directe
$α∈H\alpha \in H$ donc $−α∈H,α+α=2α∈H-\alpha \in H, \alpha+\alpha=2\alpha \in H$ , $3α∈H3\alpha \in H$ , etc...
Tous les mukltiples de $α\alpha$ sont dans $H$
donc $αZ⊂H\boxed{\alpha Z \subset H}$

Partie réciproque
Soit $β∈H\beta \in H$
La division euclidienne de $β\beta$ par $α\alpha$ permet d'écrire :
$β=αq+r\beta=\alpha q+r$ avec $0≤r<α0\le r\lt \alpha$
donc $r=β−αqr=\beta-\alpha q$
Vu que $α∈H\alpha \in H$ et que $q$ est entier, on peut justifier que $αq∈H\alpha q \in H$ puis que $β−αq∈H\beta-\alpha q\in H$ donc que $r∈Hr\in H$

Or, $α\alpha$ est le plus petit entier strictement positif de $H$ , donc de la double inégalité $0≤r<α0\le r\lt \alpha$ on déduit $r = 0$
Conséquence $β=αq\beta =\alpha q$ , donc $H⊂αZ\boxed{H\subset \alpha Z}$

CQFD

Bonne réflexion.

@mtschoon ok merci beaucoup madame je vous reviendrai lorsque je vais bien travailler dessus

OK @medou-coulibaly ,
Bon travail.