Système d'équations non-linéaires
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AAntimoine dernière édition par
Bonjour, je voudrais savoir si ce système peut être résolu et qu'il existe un nombre fini de couple (x,y)(x,y)(x,y)
{8x7−8y4x3+12x5−8y2x3−4y4x+12x3−4y2x−8x=08y7−8x4y3+6y5−4x4y−8x2y3+12y3−4x2y+4y=0}\begin{Bmatrix}8x^7-8y^4x^3+12x^5-8y^2x^3-4y^4x+12x^3-4y^2x-8x=0\\8y^7-8x^4y^3+6y^5-4x^4y-8x^2y^3+12y^3-4x^2y+4y=0\end{Bmatrix}{8x7−8y4x3+12x5−8y2x3−4y4x+12x3−4y2x−8x=08y7−8x4y3+6y5−4x4y−8x2y3+12y3−4x2y+4y=0}
Je ne demande évidemment pas de le résoudre (conscient du temps énorme que ça peut prendre), mais seulement de savoir si elle est résoluble et d'avoir la méthodologie pour pouvoir la résoudre.
Un peu de contexte, j'essaye à terme de trouver tout les points critiques de cette fonction (bien moche) :
f(x,y)=x8+y8−2x4y4+2x6+y6−2x4y2−2x2y4+3x4+3y4−2x2y2−4x2+2y2+1f(x,y)=x^8+y^8-2x^4y^4+2x^6+y^6-2x^4y^2-2x^2y^4+3x^4+3y^4-2x^2y^2-4x^2+2y^2+1f(x,y)=x8+y8−2x4y4+2x6+y6−2x4y2−2x2y4+3x4+3y4−2x2y2−4x2+2y2+1
∂f∂x=8x7−8y4x3+12x5−8y2x3−4y4x+12x3−4y2x−8x\frac{\partial f}{\partial x}=8x^7-8y^4x^3+12x^5-8y^2x^3-4y^4x+12x^3-4y^2x-8x∂x∂f=8x7−8y4x3+12x5−8y2x3−4y4x+12x3−4y2x−8x
∂f∂y=8y7−8x4y3+6y5−4x4y−8x2y3+12y3−4x2y+4y\frac{\partial f}{\partial y}=8y^7-8x^4y^3+6y^5-4x^4y-8x^2y^3+12y^3-4x^2y+4y∂y∂f=8y7−8x4y3+6y5−4x4y−8x2y3+12y3−4x2y+4y
Et ducoup, je dois trouver tout les couples (x,y)(x,y)(x,y) qui donne z=0z=0z=0 dans cette formule :
z=∂f∂x(a,b)(x−a)+∂f∂y(a,b)(y−b)+f(a,b)z=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b)+f(a,b)z=∂x∂f(a,b)(x−a)+∂y∂f(a,b)(y−b)+f(a,b)
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
Approche pour un peu simplifier le système :
a) Si x = 0,
la 1ère dérivée partielle (par rapport à x) = 0
la 2ème (par rapport à y devient) : 8y^7 + 6y^5 + 12y³ + 4y = 0
2y(4y^6 + 3y^4 + 6y² + 2) = 0
y = 0 convient
4y^6 + 3y^4 + 6y² + 2 = 0 --> en posant y² = Y
4Y³ + 3Y² + 6Y + 2 = 0 (qui peut être résolu par exemple par Cardan)
Il n'y a pas de solution réelle positive et donc pas de valeur de Y = y² qui convient différente de 0 (avec x = 0)Si y = 0, la 2eme dérivée partielle (par rapport à y) = 0
la 1ère (par rapport à x devient) : 8x^7 + 12x^5 + 12x³ - 8x = 0
4x(2x^6 + 3x^4 + 3x² - 2) = 0
x = 0 convient
2x^6 + 3x^4 + 3x - 2 = 0
en posant x² = X --> 2X³ + 3X² + 3X - 2 = 0 (qui peut être résolue par Cardan)
... Ici il y a une solution réelle positive X = 0,4294445... (on a la valeur exacte acvec radical par Cardan)
--> x² = 0,4294445...
X= +/- 0,65532...Il a donc au moins 3 points critiques en (0 ; 0) , (-0,65532... ; 0) et (0,65532... ;0)
b) si x et y différents de 0, on peut simplifier le système qui devient :
8x^6 - 8y^4.x² + 12x^4 - 8y².x² - 4y^4 + 12x² - 4y² - 8 = 0
8y^6 - 8x^4.y² + 6y^4 - 4x^4 - 8x²y² + 12y² - 4x² + 4 = 0En posant x² = X et y² = Y, on obtient :
8X³ - 8Y².X + 12X² - 8XY - 4Y² + 12X - 4Y - 8 = 0
8Y³ - 8X².Y + 6Y² - 8XY - 4X² + 12Y - 4X + 4 = 0
Avec X et Y > 0On n'est encore nulle part ... mais on a des exposants 3 max au lieu de 7 max.
Je n'ai rien vérifié ...