Devoir maison Algèbre Lineaire

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@Hisham
La dimension de E∗, l'espace dual de E, est égale à la dimension de E. Pour le montrer, nous allons démontrer que la famille {f1, . . . , fn}, appelée base duale de {e1, . . . , en}, est une base de E∗.

Pour commencer, nous devons vérifier que chaque fi appartient à L(E, R). En effet, pour tout vecteur x appartenant à E, fi(x) est un réel qui vérifie fi(ax + by) = a fi(x) + b fi(y) pour tous a, b réels, donc fi est bien une application linéaire de E dans R.

Nous devons également montrer que la famille {f1, . . . , fn} est linéairement indépendante. Pour cela, supposons qu'il existe des coefficients réels c1, . . . , cn tels que

∑ ci fi = 0

En prenant x = ei pour tout i, nous obtenons

∑ ci fi(ei) = 0

Or, fi(ei) = 1 pour tout i, donc ∑ ci = 0. Comme les ci sont tous réels, ils sont tous nuls et la famille {f1, . . . , fn} est bien linéairement indépendante.

Par conséquent, {f1, . . . , fn} est une base de E∗, ce qui signifie que la dimension de E∗ est égale à celle de E.

@Remyyy , bonjour,

Tu as répondu à la question 1).
Tu ne dis pas comment...Je suppose que tu as justifié que la dimension de $L (E, R)$ est $n$

Pour t'éclairer, je te donne quelques explications que tu peut expliciter et utiliser pour solutionner la question 2)

Pour tout vecteur $u$ de $E$ , on peut écrire :
$u=x_1e_1+x_2e_2+...x_ne_n$

$f_1(u)=x_1f_1(e_1)+f_1(e_2)+...+x_nf_1(e_n)$
$f1(u)=(x1×1)+(x2×0)+...+(xn×0)f_1(u)=(x_1\times 1)+(x_2\times 0)+...+(x_n\times 0)$
$f_1(u)=x_1$
donc $f1∈L(E,R)f_1\in L(E,R)$

$f_2(u)=x_1f_2(e_1)+f_2(e_2)+...+x_nf_2(e_n)$
$f1(u)=(x1×0)+(x2×1)+(x3×0)+...+(xn×0)f_1(u)=(x_1\times 0)+(x_2\times 1)+(x_3\times 0)+...+(x_n\times 0)$
$f_2(u)=x_2$
donc $f2∈L(E,R)f_2\in L(E,R)$

Quand tu as compris la démarche, tu peux la généraliser à tout $i$ compris entre $1$ et $n$ : $f_i(u)=x_i$
donc $fi∈L(E,R)f_i\in L(E,R)$
Donc :
La famille $f_1,f_2,,...,f_n)$ est une suite de $n$ éléments de $L (E, R)$
Vu que tu as démontré à la première question que $L (E, R)$ a pour dimension $n$ , il suffit de prouver que cette famille $f_1,f_2,,...,f_n)$ est libre pour en déduire que c'est une base de $L (E, R)$ .

@Remyyy ,

Pistes pour prouver que $f_1,f_2,f_3,...,f_n)$ est libre

Soit $a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+...+a_nf_n=0$

En appliquant cette relation au vecteur $e_1$ :
$a_1f_1(e_1)+a_2f_2(e_1)+a_3f_3(e_1)+...+a_nf_n(e_1)=0$
$(a1×1)+(a2×0)+(a3×0)+...+(an×0)=0(a_1\times 1)+(a_2\times 0)+(a_3\times 0)+...+(a_n\times 0)=0$
d'où : $a_1=0$

En appliquant cette relation au vecteur $e_2$ :
$a_1f_1(e_2)+a_2f_2(e_2)+a_3f_3(e_2)+...+a_nf_n(e_2)=0$
$(a1×0)+(a2×1)+(a3×0)+...+(an×0)=0(a_1\times 0)+(a_2\times 1)+(a_3\times 0)+...+(a_n\times 0)=0$
d'où $a_2=0$

Quand tu as compris la démarche, tu peux la généraliser à tout $i$ compris entre $1$ et $n$ , d'où $a_i=0$

Conclusion :

la famille $f_1,f_2,f_3,...,f_n)$ est libre

$f_1,f_2,f_3,...,f_n)$ est donc une base de $L (E, R)$

Bonnes réflexions.

@Remyyy a effacé son message alors qu'il avait eu des réponses ! ! !

Pas fair-play @Remyyy .! ! !

Reconstitution de l'énoncé donné par @Remyyy , pour consultation éventuelle :

J'ai pu répondre à la question 1 de l'exercice 1 :
Exercice 1. Soit E un espace vectoriel réel de dimension n. On note E∗ l’espace des applications linéaires L(E, R)
Quelle est la dimension de E∗?
On appellera E∗ l’espace dual de E.
Soit {e1, . . . , en} une base de E. Montrer qu’on définit une base de E∗ en posant, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, fi(ei) = 1 et fi(ej) = 0 si j ≠ i. Indication : on vérifiera que f1, . . . , fn sont des éléments de L(E, R) et qu’ils sont linéairement indépendants. La famille {f1, . . . , fn} s’appelle la base duale de {e1, . . . , en}