Devoir maison Algèbre Lineaire


  • Remyyy

    Ce message a été supprimé !

  • H

    @Hisham
    La dimension de E∗, l'espace dual de E, est égale à la dimension de E. Pour le montrer, nous allons démontrer que la famille {f1, . . . , fn}, appelée base duale de {e1, . . . , en}, est une base de E∗.

    Pour commencer, nous devons vérifier que chaque fi appartient à L(E, R). En effet, pour tout vecteur x appartenant à E, fi(x) est un réel qui vérifie fi(ax + by) = a fi(x) + b fi(y) pour tous a, b réels, donc fi est bien une application linéaire de E dans R.

    Nous devons également montrer que la famille {f1, . . . , fn} est linéairement indépendante. Pour cela, supposons qu'il existe des coefficients réels c1, . . . , cn tels que

    ∑ ci fi = 0

    En prenant x = ei pour tout i, nous obtenons

    ∑ ci fi(ei) = 0

    Or, fi(ei) = 1 pour tout i, donc ∑ ci = 0. Comme les ci sont tous réels, ils sont tous nuls et la famille {f1, . . . , fn} est bien linéairement indépendante.

    Par conséquent, {f1, . . . , fn} est une base de E∗, ce qui signifie que la dimension de E∗ est égale à celle de E.


  • mtschoon

    @Remyyy , bonjour,

    Tu as répondu à la question 1).
    Tu ne dis pas comment...Je suppose que tu as justifié que la dimension de L(E,R)L(E,R)L(E,R) est nnn

    Pour t'éclairer, je te donne quelques explications que tu peut expliciter et utiliser pour solutionner la question 2)

    Pour tout vecteur uuu de EEE, on peut écrire :
    u=x1e1+x2e2+...xnenu=x_1e_1+x_2e_2+...x_ne_nu=x1e1+x2e2+...xnen

    f1(u)=x1f1(e1)+f1(e2)+...+xnf1(en)f_1(u)=x_1f_1(e_1)+f_1(e_2)+...+x_nf_1(e_n)f1(u)=x1f1(e1)+f1(e2)+...+xnf1(en)
    f1(u)=(x1×1)+(x2×0)+...+(xn×0)f_1(u)=(x_1\times 1)+(x_2\times 0)+...+(x_n\times 0)f1(u)=(x1×1)+(x2×0)+...+(xn×0)
    f1(u)=x1f_1(u)=x_1f1(u)=x1
    donc f1∈L(E,R)f_1\in L(E,R)f1L(E,R)

    f2(u)=x1f2(e1)+f2(e2)+...+xnf2(en)f_2(u)=x_1f_2(e_1)+f_2(e_2)+...+x_nf_2(e_n)f2(u)=x1f2(e1)+f2(e2)+...+xnf2(en)
    f1(u)=(x1×0)+(x2×1)+(x3×0)+...+(xn×0)f_1(u)=(x_1\times 0)+(x_2\times 1)+(x_3\times 0)+...+(x_n\times 0)f1(u)=(x1×0)+(x2×1)+(x3×0)+...+(xn×0)
    f2(u)=x2f_2(u)=x_2f2(u)=x2
    donc f2∈L(E,R)f_2\in L(E,R)f2L(E,R)

    Quand tu as compris la démarche, tu peux la généraliser à tout iii compris entre 111 et nnn : fi(u)=xif_i(u)=x_ifi(u)=xi
    donc fi∈L(E,R)f_i\in L(E,R)fiL(E,R)
    Donc :
    La famille (f1,f2,,...,fn)(f_1,f_2,,...,f_n)(f1,f2,,...,fn) est une suite de nnn éléments de L(E,R)L(E,R)L(E,R)
    Vu que tu as démontré à la première question que L(E,R)L(E,R)L(E,R) a pour dimension nnn, il suffit de prouver que cette famille (f1,f2,,...,fn)(f_1,f_2,,...,f_n)(f1,f2,,...,fn) est libre pour en déduire que c'est une base de L(E,R)L(E,R)L(E,R) .


  • mtschoon

    @Remyyy ,

    Pistes pour prouver que (f1,f2,f3,...,fn)(f_1,f_2,f_3,...,f_n)(f1,f2,f3,...,fn) est libre

    Soit a1f1+a2f2+a3f3+...+anfn=0a_1f_1+a_2f_2+a_3f_3+...+a_nf_n=0a1f1+a2f2+a3f3+...+anfn=0

    En appliquant cette relation au vecteur e1e_1e1 :
    a1f1(e1)+a2f2(e1)+a3f3(e1)+...+anfn(e1)=0a_1f_1(e_1)+a_2f_2(e_1)+a_3f_3(e_1)+...+a_nf_n(e_1)=0a1f1(e1)+a2f2(e1)+a3f3(e1)+...+anfn(e1)=0
    (a1×1)+(a2×0)+(a3×0)+...+(an×0)=0(a_1\times 1)+(a_2\times 0)+(a_3\times 0)+...+(a_n\times 0)=0(a1×1)+(a2×0)+(a3×0)+...+(an×0)=0
    d'où : a1=0a_1=0a1=0

    En appliquant cette relation au vecteur e2e_2e2 :
    a1f1(e2)+a2f2(e2)+a3f3(e2)+...+anfn(e2)=0a_1f_1(e_2)+a_2f_2(e_2)+a_3f_3(e_2)+...+a_nf_n(e_2)=0a1f1(e2)+a2f2(e2)+a3f3(e2)+...+anfn(e2)=0
    (a1×0)+(a2×1)+(a3×0)+...+(an×0)=0(a_1\times 0)+(a_2\times 1)+(a_3\times 0)+...+(a_n\times 0)=0(a1×0)+(a2×1)+(a3×0)+...+(an×0)=0
    d'où a2=0a_2=0a2=0

    Quand tu as compris la démarche, tu peux la généraliser à tout iii compris entre 111 et nnn , d'où ai=0a_i=0ai=0

    Conclusion :

    la famille (f1,f2,f3,...,fn)(f_1,f_2,f_3,...,f_n)(f1,f2,f3,...,fn) est libre

    (f1,f2,f3,...,fn)(f_1,f_2,f_3,...,f_n)(f1,f2,f3,...,fn) est donc une base de L(E,R)L(E,R)L(E,R)

    Bonnes réflexions.


  • mtschoon

    @Remyyy a effacé son message alors qu'il avait eu des réponses ! ! !

    Pas fair-play @Remyyy .! ! !

    Reconstitution de l'énoncé donné par @Remyyy , pour consultation éventuelle :

    J'ai pu répondre à la question 1 de l'exercice 1 :
    Exercice 1. Soit E un espace vectoriel réel de dimension n. On note E∗ l’espace des applications linéaires L(E, R)
    Quelle est la dimension de E∗?
    On appellera E∗ l’espace dual de E.
    Soit {e1, . . . , en} une base de E. Montrer qu’on définit une base de E∗ en posant, pour tout i ∈ {1, . . . , n}, fi(ei) = 1 et fi(ej) = 0 si j ≠ i. Indication : on vérifiera que f1, . . . , fn sont des éléments de L(E, R) et qu’ils sont linéairement indépendants. La famille {f1, . . . , fn} s’appelle la base duale de {e1, . . . , en}


Se connecter pour répondre