Formule du binôme de Newton
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JJosias dernière édition par Josias
Salut à vous. Je demande s’il vous plaît de l’aide sur l’exercice suivant. Merci d’avance.
Montrer que pour tout p∈N,22pcos2p(x)=∑k=0p−1(2pk)2cos(2(p−k)x)+(2pp)p\in\mathbb{N}, 2^{2p}cos^{2p}(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{p-1} (^k_{2p})2cos(2(p-k)x)+(^p_{2p})p∈N,22pcos2p(x)=k=0∑p−1(2pk)2cos(2(p−k)x)+(2pp).
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mtschoon dernière édition par
@Josias , bonsoir,
Je n'ai pas cherché, mais l'idée qui me vient en voyant la formule : utiliser une formule d'Euler.
cosx=eix+e−ix2cosx=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}cosx=2eix+e−ix
D'où :
22pcos2px=22p(eix+e−ix2)2p2^{2p}cos^{2p}x=2^{2p}\biggr(\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\biggr)^{2p}22pcos2px=22p(2eix+e−ix)2p
Après simplification :22pcos2px=(eix+e−ix)2p2^{2p}cos^{2p}x=(e^{ix}+e^{-ix})^{2p}22pcos2px=(eix+e−ix)2p
Ensuite, tu utilises la formule du binôme.
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JJosias dernière édition par
@mtschoon
Vraiment merci pour cette aide. Mais mon problème est qu’après avoir utilisé la formule du binôme, je trouve ceci:
∑k=0p−1\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}k=0∑p−1 (2pk)(^k_{2p})(2pk) e2i(k−p)xe^{2i(k-p)x}e2i(k−p)x +++ (2pp)(^p_{2p})(2pp) +++ ∑k=p+12p\displaystyle\sum_{k=p+1}^{2p}k=p+1∑2p (2pk)(^k_{2p})(2pk) e2i(k−p)xe^{2i(k-p)x}e2i(k−p)x
Après je ne sais pas comment trouver le bon indice pour faire le changement d’indice.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@Josias , bonjour,
Ta décomposition est bonne mais fais attention à l'écriture des coefficients binomiaux.
Il faut les écrire (2pk){2p}\choose{k}(k2p)Vu que dans l'expression finale avec le cos il y a (p−k)(p-k)(p−k), je l'aurais plutôt écrite avec, comme exposant, 2i(p−k)x2i(p-k)x2i(p−k)x, mais ça n'a pas d'importance.
∑k=0n−1\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} k=0∑n−1(2pk){2p}\choose{k}(k2p) e2i(p−k)xe^{2i(p-k)x}e2i(p−k)x+(2pp){2p}\choose{p}(p2p) +∑k=p+12p\displaystyle \sum_{k=p+1}^{2p}k=p+1∑2p (2pk){2p}\choose{k}(k2p) e2i(p−k)xe^{2i(p-k)x}e2i(p−k)x
Pour la troisième partie de la somme ∑k=p+12p\displaystyle \sum_{k=p+1}^{2p}k=p+1∑2p (2pk){2p}\choose{k}(k2p)e2i(p−k)xe^{2i(p-k)x}e2i(p−k)x, il faut effectivement la transformer pour pouvoir l'ajouter à la première et faire apparaître un cosinus.
Sauf erreur, ∑k=p+12p\displaystyle \sum_{k=p+1}^{2p}k=p+1∑2p (2pk){2p}\choose{k}(k2p) e2i(p−k)xe^{2i(p-k)x}e2i(p−k)x peut s'écrire :
∑k′=0p−1\displaystyle \sum_{k'=0}^{p-1}k′=0∑p−1 (2pk′){2p}\choose{k'}(k′2p) e−2i(p−k′)xe^{-2i(p-k')x}e−2i(p−k′)x , avec le changement p−k=−p+k′p-k=-p+k'p−k=−p+k′, c'est à dire k′=2p−kk'=2p-kk′=2p−kVérifie.
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JJosias dernière édition par
@mtschoon
Et oui j’ai réussi à trouver la solution. Vraiment je vous remercie pour votre aide.
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mtschoon dernière édition par
De rien @Josias , c'était avec plaisir !