Prouver la continuité d'une fonction définie par rapport à une intégrale dans le cadre de la démonstration du théorème de l'intégrale double de Riemann

Bonjour, je cherche à démontrer ceci

Si $\lt b \in \mathbb{R}$ , $ϕ\phi$ and $ψ\psi$ sont continues sur $[a, b]$ and $ϕ≤ψ\phi \leq \psi$ , je note $x1∈[a,b],x2∈[ϕ(x1),ψ(x1)]}\Delta := \lbrace (x_1,x_2) \in \mathbb{R} \ x_1 \in [a,b], x_2 \in [\phi(x_1),\psi(x_1)]\rbrace$ , $f$ est continue sur $Δ\Delta$ , montrons que
$[x1→∫ϕ(x1)ψ(x1)f(x1,x2)dx2][x_1\rightarrow \int^{\psi(x_1)}_{\phi(x_1)}f(x_1,x_2)dx_2]$ est continue sur $[a, b]$

Je me concentre sur $[x1→∫zψ(x1)f(x1,x2)dx2][x_1\rightarrow \int^{\psi(x_1)}_zf(x_1,x_2)dx_2]$ puis j'utilise Heine-Cantor pour la continuité uniforme mais je bloque à $∀x∈[a,b]\forall x \in [a,b]$ , $∀γ>0\forall \gamma \gt 0$ , $∃α>0\exists \alpha \gt 0$ , $∀ε>0\forall \varepsilon \gt 0$ , $\lt \alpha\implies |\int^{\psi(x_1)}_zf(x_1+h,x_2)dx_2-\int^{\psi(x_1)}_zf(x_1,x_2)dx_2| \lt \varepsilon (\psi(x_1) - z)$

@PabloEXOBAR , bonjour,

Pour te donner une idée, tu peux éventuellement regarder les pages 1/2 ici, paragraphe 1(sous paragraphe 1.2)

http://exo7.emath.fr/cours/ch_intpar.pdf

Bon courage !