3. Application avec f(x,y)

Application avec f(x,y)

  • ?

    Bonjour je voulais avoir de l'aide sur un exercice sur lequel je ne suis pas trop sur de ma méthode c'est un exercice supplémentaire de TD que j'ai essayé de faire mais j'ai du mal :

    1. Les applications sont elles injectives , surjectives ? justifiez

    a) Z -> N , x -> x²
    b) N -> N, x -> x²+1
    c) R²->R² , (x,y) -> (x+y,x-2y)
    d) Z² -> Z, (x,y) -> 2x +5y

    1. Explicitez la classe de (1,2) dans le cas u E=F=R² et
      f(x,y) = (x,0) ? Meme chose quand f(x,y) = (0,y)

    Mes réponses :

    1)a) j'aurais dit en utilisant f(a) = f(b) que a=b donc c'est injectif et surjectif car avec f(x) = y on arrive a
    x= +- sqrt(y) , or si y<0 alors sqrt(y) appartient pas à N mais -sqrt(y) appartient à N et inversement quand y>0

    b) c'est injectif mais pas surjectif car x = +- sqrt(y-1)
    Or si on prend y = 3, x n'appartient pas à N

    c et d) et le 2) j'avoue ne pas savoir quand on a (x,y) c'est pourquoi je demande de l'aide

  • mtschoon

    @Dakaeris , bonjour,

    Quelques pistes à explorer,

    A expliciter et rédiger rigoureusement

    Pour dire NON , un exemple suffit.

    1 )a) f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2

    f(2)=4f(2)=4f(2)=4 et f(−2)=4f(-2)=4f(−2)=4 donc f non injective

    x2=20x^2=20x2=20 <=> x=∓20x=\mp \sqrt{20}x=∓20​
    ∓20∉Z\mp \sqrt{20} \notin Z∓20​∈/​Z
    202020 n'a pas d'antécédent dans ZZZ
    fff non surjective

    1 ) b) g(x)=x2+1g(x)=x^2+1g(x)=x2+1

    g(a)=g(b)g(a)=g(b)g(a)=g(b) <=> a2+1=b2+1a^2+1=b^2+1a2+1=b2+1 <=> a2=b2a^2=b^2a2=b2
    c'est à dire a=ba=ba=b ou a=−ba=-ba=−b
    Pour aaa et bbb non nuls de NNN, a=−ba=-ba=−b est impossible
    g(a)=g(b)g(a)=g(b)g(a)=g(b) implique a=ba=ba=b
    ggg injective

    En résolvant comme au a), par exemple 202020 n'a pas d'antécédent dans NNN
    ggg non surjective

  • mtschoon

    @Dakaeris ,

    A expliciter et rédiger rigoureusement.

    1 )c) h(x,y)=(x+y,x−2y)h(x,y)=(x+y,x-2y)h(x,y)=(x+y,x−2y)

    f(x,y)=f(x′,y′)f(x,y)=f(x',y')f(x,y)=f(x′,y′) <=>{x+y=x′+y′x−2y=x′−2y′\begin{cases} x+y=x'+y'\cr x-2y=x'-2y'\end{cases}{x+y=x′+y′x−2y=x′−2y′​
    En résolvant de système d'inconnues xxx et yyy, tu dois trouver x=x′x=x'x=x′ et y=y′y=y'y=y′
    h injective

    f(x,y)=(z,t)f(x,y)=(z,t)f(x,y)=(z,t) <=> {z=x+yt=x−2y\begin{cases}z=x+y\cr t=x-2y\end{cases}{z=x+yt=x−2y​
    En résolvant de système d'inconnues xxx et yyy, tu dois trouver, x=t+2z3x=\dfrac{t+2z}{3}x=3t+2z​ et y=−t+z3y=\dfrac{-t+z}{3}y=3−t+z​
    g surjective

    1 )d) F(x,y)=2x+5yF(x,y)=2x+5yF(x,y)=2x+5y
    F(5,−2)=0F(5,-2)=0F(5,−2)=0
    F(0,0)=0F(0,0)=0F(0,0)=0
    FFF non injective

    2x+5y=z2x+5y=z2x+5y=z (tu peux penser à une équation diophantienne)

    Soit z=kz=kz=k

    x=3kx=3kx=3k et y=−ky=-ky=−k sont solutions de F(x,y)=kF(x,y)=kF(x,y)=k
    F surjective

  • mtschoon

    @Dakaeris ,

    Pour cette question 2 ), je ne sais pas ce que tu entends par "classe"...

    Regarde ton cours pour savoir de quoi il s'agit.

    Peut être s'agit-il de "classe d'équivalence" de la relation "avoir même image que (1,2)(1 ,2)(1,2) par fff ? ? ?

    Si c'est cela ,
    pour f(x,y)=(x,0)f(x,y)=(x,0)f(x,y)=(x,0)
    f(1,2)=(1,0)f(1,2)=(1,0)f(1,2)=(1,0)

    Tous les couples (1,y)(1,y)(1,y) ont pour image par fff le couple (1,0)(1,0)(1,0)
    La classe de (1,2)(1,2)(1,2) est l'ensemble des couples (1,y)(1,y)(1,y) avec y∈Ry\in Ry∈R

    pour f(x,y)=(0,y)f(x,y)=(0,y)f(x,y)=(0,y)
    f(1,2)=(0,2)f(1,2)=(0,2)f(1,2)=(0,2)

    Tous les couples (x,2)(x,2)(x,2) ont pour image par fff le couple (0,2)(0,2)(0,2)
    La classe de (1,2)(1,2)(1,2) est l'ensemble des couples (x,2)(x,2)(x,2) avec x∈Rx\in Rx∈R

    Si ce n'est cela , vois de quoi d'autre il s'agit....

    Vérifie tout ça et Bonnes réflexions.

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