Nombres complexes équivalence

[Josias]

Salut s’il vous j’aimerais avoir de l’aide sur cet exercice merci d’avance.
Soit $\lambda \in \mathbb{C}${$i$}. Montrer l’équivalence: $\lambda \in \mathbb{R}⟺|\frac{1-\lambda i}{1+\lambda i}|=1$

[mtschoon]

@Josias , bonjour,

Je te conseille d'expliquer ta notation $\mathbb{C}${i}

De façon usuelle,
$\mathbb{C}$ représente l'ensemble des nombres complexes
$i\mathbb{R}$ représente l'ensemble des nombres complexes immaginaires purs

mais, $\mathbb{C}${i} ?

[Josias]

@mtschoon
Hé oui j’ai voulu écrire $\mathbb{C}$ privé de {$i$}
C’est une erreur de frappe. Excusez-moi.

[mtschoon]

@Josias ,
OK
La condition est $1+\lambda i\ne 0$ <=> $\lambda \ne i$

Piste,

Je te conseille de raisonner par équivalences logiques en partant de l'égalité de droite

$\left|\frac{1-\lambda i}{1+\lambda i}\right|=1$
équivaut à $|1-\lambda i|=|1+\lambda i|$
équivaut à $|1-\lambda i{|}^2=|1+\lambda i{|}^2$
équivaut à $(1-\lambda i)(\overline{1-\lambda i})=(1+\lambda i)(\overline{1+\lambda i})$
équivaut à $(1-\lambda i)(1+\bar{\lambda }i)=(1+\lambda i)(1-\bar{\lambda }i)$

Ensuite, tu développes chaque membre , tu simplifies, et tu arrives à $\boxed{\bar{\lambda }=\lambda }$, ce qui équivaut à $\lambda$ réel.

[Josias]

@mtschoon
C’est vraiment cool de votre part. J’ai compris en un rien de temps, vous n’imaginez pas combien vous m’avez aidé. Je vous dit merci merci et merci. Grand merci à vous.

[mtschoon]

De rien @Josias .
C'était avec plaisir et je suis ravie que tu aies compris et très vite !
Bonne soirée.