Relation d’ordre et borne supérieure - borne inférieure


  • J

    Je sollicite votre aide pour cette question vraiment merci d’avance. J’ai réussi à montrer que cette relation est une relation d’ordre et qu’elle n’est pas totale. Mais je n’arrive pas à répondre à cette question :

    Soit RRR la relation définie sur N\mathbb{N}N par: ∀\forallx,y∈N,xRy  ⟺  ∃x,y\in\mathbb{N},xRy\iff\existx,yN,xRyp,q∈Npriveˊde0,y=pxqp,q\in\mathbb{N}privé de 0,y=px^{q}p,qNpriveˊde0,y=pxq

    Pour tout (x,y)∈N2(x,y)\in\mathbb{N}^{2}(x,y)N2, déterminer sup(x,y)sup(x,y)sup(x,y) et inf(x,y)inf(x,y)inf(x,y).


  • mtschoon

    @Josias , bonsoir,

    Je regarde ta question.

    Si je lis ce que tu indiques , tu cherches Sup et Inf non d'un ensemble mais d'un couple (x,y).

    Sup(x,ySup(x,ySup(x,y) est la valeur la plus grande entre xxx et yyy
    Inf(x,y)Inf(x,y)Inf(x,y) est la valeur la plus petite entre xxx et yyy

    Si c'est bien ça ta question, tu peux prouver que pour tout couple (x,y)(x,y)(x,y) vérifiant la relation RRR, x≤y\boxed{x\le y}xy

    Donc : Sup(x,y)=ySup(x,y)=ySup(x,y)=y et Inf(x,y)=xInf(x,y)=xInf(x,y)=x

    Pour prouver que x≤yx\le yxy, ppp et qqq étant des naturels non nuls, tu peux faire 4 cas (avec une justification dans chaque cas) :
    p=1p=1p=1 et q=1q=1q=1 d'où y=xy=xy=x
    p>1p\gt 1p>1 et q=1q=1q=1 d'où y>xy\gt xy>x
    p=1p= 1p=1 et q>1q\gt 1q>1 d'où y>xy\gt xy>x
    p>1p\gt 1p>1 et q>1q\gt 1q>1 d'où y>xy\gt xy>x


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