Suites de réels convergence

Salut à vous! S’il vous plaît j’aimerais avoir de l’aide avec cet exercice:

Soient $u_n)$ et $v_n)$ deux suites convergentes de limite $p$ et $q$ . Montrer que la suite $w_n)$ définie par $W_{n} = Sup_{n}({u_n, v_n}) +Inf_{n}({u_n, v_n})$ converge et exprimer sa limite en fonction de $p$ et $q$ . On pourrait vérifier d'abord que les suites $x_n)$ et $y_m)$ définies par $x_{n}$ $Sup_{n}({u_{n} ,v_{n}})$ et
$y_{n} = Inf_{n}({v_{n},v_{n}})$ sont convergentes .

@Josias , bonjour,

A tout hasard, je t'indique des propriétés usuelles qui peuvent (peut-être) t'être utiles pour solutionner ton exercice, si $Sup(u_n,v_n)$ (et $Inf(u_n,v_n)$ ) représentent le plus grand (et le plus petit) des deux termes $u_n$ et $v_n$ , mais j'ignore si c'est bien de cela dont il s'agit...( ? ? ? )

Si c'est de cela dont il s'agit :

$Sup(un,vn)=un+vn+∣un−vn∣2Sup(u_n,v_n)=\dfrac{u_n+v_n+|u_n-v_n|}{2}$

$Inf(un,vn)=un+vn−∣un−vn∣2Inf(u_n,v_n)=\dfrac{u_n+v_n-|u_n-v_n|}{2}$

Donc : $W_n=Sup(u_n,v_n)+Inf(u_n,v_n)=u_n+v_n$

A toi de voir...

@mtschoon
C’est exactement de cela qu’il s’agit. Je n’arrive pas à comprendre comment vous avez fait pour trouver les $S u p$ et $I n f$ . S’il vous plaît expliquez-moi.

@Josias , tu peux regarder ici :
https://www.youtube.com/watch?v=opDBYf1mBLk

@Josias , bonjour,

Si besoin, je t'explicite la démonstration

1er cas : $un≤vn\boxed{u_n\le v_n}$

$Inf(u_n,v_n)=u_n$ et $Sup(u_n,v_n)=v_n$

Vu que $un−vn≤0u_n-v_n\le 0$ :
$u_n-v_n|=-(u_n-v_n)=-u_n+v_n$
donc
$un+vn+∣un−vn∣2=un+vn−un+vn2=vn=Sup(un,vn)\dfrac{u_n+v_n+|u_n-v_n|}{2}=\dfrac{u_n+v_n-u_n+v_n}{2}=v_n=Sup(u_n,v_n)$

$un+vn−∣un−vn∣2=un+vn+un−vn2=un=Inf(un,vn)\dfrac{u_n+v_n-|u_n-v_n|}{2}=\dfrac{u_n+v_n+u_n-v_n}{2}=u_n=Inf(u_n,v_n)$

2ème cas : $un≥vn\boxed{u_n\ge v_n}$

$Inf(u_n,v_n)=v_n$ et $Sup(u_n,v_n)=u_n$

Vu que $un−vn≥0u_n-v_n\ge 0$ :
$u_n-v_n|=u_n-v_n$
donc
$un+vn+∣un−vn∣2=un+vn+un−vn2=un=Sup(un,vn)\dfrac{u_n+v_n+|u_n-v_n|}{2}=\dfrac{u_n+v_n+u_n-v_n}{2}=u_n=Sup(u_n,v_n)$

$un+vn−∣un−vn∣2=un+vn−un+vn2=vn=Inf(un,vn)\dfrac{u_n+v_n-|u_n-v_n|}{2}=\dfrac{u_n+v_n-u_n+v_n}{2}=v_n=Inf(u_n,v_n)$

Donc, de façon générale , on peut écrire :
$Sup(un,vn)=un+vn+∣un−vn∣2\boxed{Sup(u_n,v_n)=\dfrac{u_n+v_n+|u_n-v_n|}{2}}$
$Inf(un,vn)=un+vn−∣un−vn∣2\boxed{Inf(u_n,v_n)=\dfrac{u_n+v_n-|u_n-v_n|}{2}}$

CQFD.

@mtschoon
Ah oui c’est bien exacte. J’ai compris maintenant merci infiniment à vous pour cet aide immense.

@Josias
Super

De rien @Josias et ravie si tout est clair pour toi maintenant.