Relation d'ordre mathématique

Exercice :
Ordre lexicographique.
Soit X = ( x1; x2 ) ∈ Ë² et Y = ( y1; y2)∈ Ë².On dit que X ≤Y si x1 ≤ y1 ou ( x1 = y1 et x2 ≤ y2 )
a ) Montrer que l'on définit ainsi une relation d'ordre sur Ë².Cet ordre est-il total ?
b ) Soit X = ( x1 ; x2 ) ∈ Ë².Déterminer l'ensemble des points Y ∈ Ë² tels que X ≤ Y.
Je bloque sur cet exercice mais jusque-là j'y trouve pas d'issue.
J'ai pleinement besoin d'aide.

@medou-coulibaly , bonjour,

Les données manquent de rigueur.

Que représente $E$ ?
Vu que tu parles de " $≤\le$ " entre $x_1$ et $y_1$ et entre $x_2$ et $y_2$ , il s'agit peut-être de nombres réels? entiers ? naturels ?
Je l'ignore.

En plus, tes inégalités "x1 ≤ y1 ou ( x1 = y1 et x2 ≤ y2 )" sont bizarres
S'il s'agit de la relation " $≤\le$ " entre nombres, le " $=$ " est inclus dans " $≤\le$ " ...et de surcroît tu parles de $x_1=y_1$ et pas de $x_2=y_2$ ....

Il faut donner l'énoncé rigoureusement pour que l'aide soit possible et précise...

@mtschoon ok madame je vais bien vérifier l'énoncé peut-être que j'ai eu à faire des erreurs

@mtschoon Madame j'ai bien vérifié c'est ce qu'on a donné

@mtschoon a dit dans Relation d'ordre mathématique :

@medou-coulibaly , bonjour,

Les données manquent de rigueur.

Que représente $E$ ?
Vu que tu parles de " $≤\le$ " entre $x_1$ et $y_1$ et entre $x_2$ et $y_2$ , il s'agit peut-être de nombres réels? entiers ? naturels ?
Je l'ignore.

En plus, tes inégalités "x1 ≤ y1 ou ( x1 = y1 et x2 ≤ y2 )" sont bizarres
S'il s'agit de la relation " $≤\le$ " entre nombres, le " $=$ " est inclus dans " $≤\le$ " ...et de surcroît tu parles de $x_1=y_1$ et pas de $x_2=y_2$ ....

Il faut donner l'énoncé rigoureusement pour que l'aide soit possible et précise...

Bonjour,

Pour info : signification de "ordre lexicographique" sur ce lien :

https://www.universalis.fr/encyclopedie/ensembles-ordonnes/2-l-ordre-lexicographique/

@Black-Jack personnellement j'ai bien vérifié l'énoncé c'est comme ça que l'exercice est !

@medou-coulibaly , effectivement, en cherchant sur web , j'ai trouvé ton énoncé ici, sans notations expliquées et sans solution :
c'est le n° 36
https://www.math.univ-angers.fr/~labatte/l3sen/Cours/exologique.pdf

Les notations utilisées doivent être explicitées dans ton cours.
Je pense que $E$ est un ensemble quelconque muni d'une relation d'ordre notée $≤\le$
$E^2$ est l'ensemble $E×EE\times E$ muni d'une relation encore notée $≤\le$
(J'aurais préféré qu'une autre notation soit utilisée dans $E^2$ car elle génère une confusion entre les deux relations...mais c'est l'énoncé qui décide...)

Black-Jack a voulu t'expliquer le titre de ton exercice : "ordre lexicographique" qui correspond à la relation donnée dans $E^2$ .

@mtschoon ok d'accord madame j'ai compris.

Bonjour,

@medou-coulibaly a dit dans Relation d'ordre mathématique :

@mtschoon ok d'accord madame j'ai compris.

@medou-coulibaly , c'est le terme "l'ordre lexicographique" que l'on appelle parfois "ordre du dictionnaire" que tu as compris ?
Si c'est bien ça, je ne te le détaille pas.

@medou-coulibaly ,

Pour revenir à ton exercice , je te mets quelques pistes.

Aucune indication n'étant indiquée (!) , je suppose que $E$ est un ensemble muni d'une relation d'ordre notée $≤\le$

Avec les propriétés (réflexivité, anti-symétrie, transitivité ) de cette relation $≤\le$ de $E$ , tu dois prouver la réflexivité, l'anti-symétrie et la transitivité de la relation "lexicographique" définie dans $E^2$ encore notée $≤\le$ dans ton énoncé (! ! !).

Je note $≲\lesssim$ cette relation "lexicographique" définie dans $E^2$ , pour éviter toute confusion.

Il faudra détailler toutes les explications, je ne te mets que des pistes de travail.

Reflexivité de $≲\lesssim$ dans $E^2$
Tu dois prouver que ( $x1,x2)≲(x1,x2)x_1,x_2) \lesssim (x_1,x_2)$

En utilisant la définition de $≲\lesssim$ , cela se traduit par :
$x2≤x2](x_1\le x_1) \ ou \ [x_1=x_1\ et\ x_2\le x_2]$

Vu que la relation $≤\le$ dans $E$ est réflexive, cela est vrai.

Anti-symétrie de $≲\lesssim$ dans $E^2$
Tu dois prouver que
${(x1,x2)≲(y1,y2)(y1,y2)≲(x1,x2)\begin{cases}(x_1,x_2) \lesssim (y_1,y_2) \cr (y_1,y_2) \lesssim (x_1,x_2)\end{cases}$ => $x_1,x_2)=(y_1,y_2)$

En utilisant la définition de $≲\lesssim$ , les hypothèses se traduisent par :
$y2≤x2]\begin{cases}(x_1\le y_1) \ ou \ [x_1=y_1\ et\ x_2\le y_2]\cr (y_1\le x_1) \ ou \ [y_1=x_1\ et\ y_2\le x_2]\end{cases}$

Vu que la relation $≤\le$ dans $E$ est anti-symétrique, tu peux déduire que $x_1=y_1$ et $x_2=y_2$ , donc $x_1,x_2)=(y_1,y_2)$

Tu appliques la même démarche pour la transitivité de $≲\lesssim$ dans $E^2$
Tu dois prouver que
${(x1,x2)≲(y1,y2)(y1,y2)≲(z1,z2)\begin{cases}(x_1,x_2) \lesssim (y_1,y_2) \cr (y_1,y_2) \lesssim (z_1,z_2)\end{cases}$ => $(x1,x2)≲(z1,z2)(x_1,x_2) \lesssim (z_1,z_2)$

Bons calculs .

@mtschoon oui j'ai compris quand j'ai lu le lien de Black j'ai compris la définition de l'ordre lexicographique

@medou-coulibaly , c'est bien (et j'espère que tu as fait le rapprochement avec la relation $≲\lesssim$ de $E^2$ )

Maintenant, tu passes à solutionner ton exercice (regarde mes pistes, si besoin)

@mtschoon Madame est-ce je peux vous envoyer la photo en privé ce que je vais faire parce que je vous avais dit que je travaille avec un smart phone, donc pour écrit ça m'est difficile.

Desolée @medou-coulibaly , ce n'est pas l'esprit du forum...

Ici , tout est public ; l'aide que l'on apporte doit pouvoir servir à d'autres qui consultent et qui veulent progresser.

@mtschoon mais je fais comment pour vous montrer ce que j'ai fait afin que vous puissiez vérifier

@medou-coulibaly,

Que dire ... ?

Le principe est d'écrire dans le cadre texte (même si ce n'est pas écrit en Latex, nous faisons des efforts pour interpréter).
C'est ce qui doit être fait.

Bien que ce ne soit pas une méthode que j'apprécie (car nous ne sommes pas des "correcteurs"), il arrive que certains mettent l'image scannée de leur travail personnel fait sur papier, pour que nous donnions un avis.

Evidemment, le mieux serait que tu puisses changer d'outil de communication ( mais c'est peut-être plus facile à dire qu'à faire...)

Bon courage !

@mtschoon ok merci beaucoup madame j'ai compris
Maintenant la b )

@medou-coulibaly ,

Pour la b)

On cherche donc l'ensemble de couples $y_1,y_2)$ tels que $(x1,x2)≲(y1,y2)(x_1,x_2)\lesssim (y_1,y_2)$ , c'est à dire les couples qui vérifient :
$x2≤y2](x_1\le y_1)\ ou\ [x_1=y_1\ et \ x_2 \le y_2]$

Cet ensemble $Y$ est l'ensemble des majorants de $x_1,x_2)$ (au sens de $≲\lesssim$ )

Tu peux faire une illustration graphique de $Y$ avec $E = R$ avec la relation $≤\le$ au sens usuel (qui est une relation d'ordre total sur $R$ ) , $E^2=R^2$ sera représenté par l'ensemble des points du plan.

@mtschoon je vais essayer sinon pour la première question j'ai compris çà, mais la seconde question je pense que ça va chauffer un peu sur moi.

@medou-coulibaly ,
Pour la question 2), j'gnore ce qui est attendu.

Si tu trouves l'idée de l'exemple $E = R$ trop difficile, tu peux donner une illustration "simplissime"

Soit $E$ = { $0, 1$ } avec la relation d'ordre $≤\le$ au sens usuel

$E^2$ = { $(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)$ }

Dans l'ordre lexicographique :
$(0,0)≲(0,1)≲(1,0)≲(1,1)(0,0)\lesssim (0,1)\lesssim (1,0) \lesssim(1,1)$

Soit $Y$ l'ensemble des majorants de $X=(x_1,x_2)$

Pour $x_1,x_2)=(0,0)$ , $Y$ = { $(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)$ }
Pour $x_1,x_2)=(0,1)$ , $Y$ = { $(0, 1), (1, 0), (1, 1)$ }
Pour $x_1,x_2)=(1,0)$ , $Y$ = { $(1, 0), (1, 1)$ }
Pour $x_1,x_2)=(1,1)$ , $Y$ = { $(1, 1)$ }

@mtschoon ok d'accord merci beaucoup madame je vais essayer de travailler dessus

Bon travail @medou-coulibaly

@mtschoon ok merci beaucoup madame

De rien @medou-coulibaly