Pour quelle valeur de m le vecteur w est-il combinaison linéaire des vecteurs v1 et v2.

Bonjour,

Je rencontre des difficultés à résoudre cet exercice. La valeur du vecteur w =(2, 2, 1), v1 = (m, 1, 1) et v2 = (1, m, 1).

Voici ce que j'ai fait :

Avec les éléments à ma disposition, je peux faire un matrice augmentée 3x3 :

|m 1 : 2| L1
|1 m : 2| L2
|1 1 : 1| L3

L1 devient L2 et inversement. Nous avons donc le premier pivot.

|1 m : 2| L1 <-- L2
|m 1 : 2| L2 <-- L1
|1 1 : 1| L3

Je fais en sorte de nettoyer la colonne pivot.

|1 m : 2 | L1
|0 -m²+1 : -2m+2| L2 <-- L2-m*L1
|0 -m+1 : -1 | L3 <-- L3-L1

Là je ne sais pas trop comment faire, je me dis qu'il me faut le deuxième pivot et pour se faire, échanger L2 et L3 et continuer mais j'ai un résultat désastreux.

Merci à l'avance pour vos réponses. Je suis désolé pour les matrices pas très propres, je ne sais pas comment en faire de belles sur le site.

J'ai pu obtenir le résultat de l'exercice. m doit être égal à 3 pour que w puisse être combinaison linéaire de v1 et v2.

@AdaLove , bonsoir,

Désolée mais je n'arrive pas à lire clairement tes calculs avec tes matrices.
Effectivement , la réponse est bien $m = 3$

J'ignore si cela t'est utile, mais je fais autrement.

$k1(m11)+k2(1m1)=(221)k_1\begin{pmatrix} m\cr 1\cr 1\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix} 1\cr m\cr 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\cr 2\cr 1\end{pmatrix}$

${mk1+k2=2k1+mk2=2k1+k2=1\begin{cases}mk_1+k_2=2\cr k_1+mk_2=2\cr k_1+k_2=1\end{cases}$
En résolvant le système composé de la première et troisième équation, tu justifies que $m = 1$ ne convient pas puis tu trouves $k1=1m−1k_1=\dfrac{1}{m-1}$ et $k2=m−2m−1k_2=\dfrac{m-2}{m-1}$

En substituant dans le deuxième équation :
$1m−1+m−2m−1=2\dfrac{1}{m-1}+\dfrac{m-2}{m-1}=2$

c'est à dire, en multipliant par $(m - 1)$ et en transposant :
$m^2-4m+3=0$
second degré : $m = 3$ ou $m = 1$
Vu que $m = 1$ ne convient pas, il reste $m = 3$

Bonjour,

Merci de m'avoir répondu et désolé de répondre un peu tard. A vrai dire je dois faire ce type d'exercice sur matrice augmentée. J'ai pu comprendre par miracle la méthode de résolution de ce type d'exercice.
Le problème était que je nettoyais mes colonnes pivots directement après avoir trouvé ce dernier. Alors, cette méthode marche en règle général mais elle est sujette à de nombreuses erreurs de calculs.

Merci encore de l'aide,