Exercice sous-espace vectoriel [Besoin d'aide]


  • Robz

    Bonjour quelqu'un pourrait t'il m'aider pour cette exercice ? Je sais que pour montrer que c'est un SEV de R^n on doit vérifier que le vecteur nul donc 0n ∈ E puis que ∀(x,y)∈ E², ∀λ∈ R, λx+y ∈ E
    Mais malgré le cours je ne sais pas du tout comment faire. En vous remerciant

    Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R^3

    1. E ={(x, y, z) ∈ R^3 | x = y ou y = z ou x = z}

    2. F ={(x, y, z) ∈ R^3 | x + y + z = 0 et x − y − z = 1}

    3. G ={(a + b, ab, a − b) | (a, b) ∈ R^2}


  • mtschoon

    @Robz , bonjour,

    Quelques pistes à expliciter avec rigueur (ce ne sont que des pistes)

    Il y a plusieurs propriétés caractéristiques des SEV.

    En utilisant celles que tu donnes, tu dois constater que EEE et FFF ne sont pas des sous-espaces vectoriels de R3R^3R3

    Pour EEE
    Par exemple,
    soit V1=(1,1,2)V_1=(1,1,2)V1=(1,1,2) ; V1∈EV_1\in EV1E vu que x=yx=yx=y
    soit V2=(2,0,2)V_2=(2,0,2)V2=(2,0,2) ; V2∈EV_2\in EV2E vu que z=xz=xz=x
    mais V1+V2=(3,1,4)V_1+V_2=(3,1,4)V1+V2=(3,1,4) donc V1+V2∉EV1+V_2\notin EV1+V2/E

    Pour FFF
    Par exemple,
    en prenant x=y=z=0x=y=z=0x=y=z=0, on obtient :
    0+0+0=0 Vrai
    mais 0-0-0=1 Faux
    03∉F0_3\notin F03/F

    Pour G, tout à l'air de convenir ;
    GGG est un sous-espace vectoriel de R3R^3R3

    i)
    En prenant a=b=0a=b=0a=b=0, tu dois prouver facilement que 03∈G0_3\in G03G
    ii)
    soit V1=(a1+b1,a1b1,a1−b1)V_1=(a_1+b_1,a_1b_1, a_1-b_1)V1=(a1+b1,a1b1,a1b1)
    soit V2=(a2+b2,a2b2,a2−b2)V_2=(a_2+b_2,a_2b_2, a_2-b_2)V2=(a2+b2,a2b2,a2b2)
    d'où :
    λV1=(λ(a1+b1),λ(a1b1,λ(a1−b1))\lambda V_1=\biggr(\lambda(a_1+b_1),\lambda(a_1b_1, \lambda(a_1-b_1)\biggr)λV1=(λ(a1+b1),λ(a1b1,λ(a1b1))

    Tu explicites λV1+V2\lambda V_1+V_2λV1+V2 et tu dois pouvoir conclure que λV1+V2∈G\lambda V_1+V_2\in GλV1+V2G

    Bons calculs .


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