Exercice sous-espace vectoriel [Besoin d'aide]

[Robz]

Bonjour quelqu'un pourrait t'il m'aider pour cette exercice ? Je sais que pour montrer que c'est un SEV de R^n on doit vérifier que le vecteur nul donc 0n ∈ E puis que ∀(x,y)∈ E², ∀λ∈ R, λx+y ∈ E
Mais malgré le cours je ne sais pas du tout comment faire. En vous remerciant

Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R^3

1. E ={(x, y, z) ∈ R^3 | x = y ou y = z ou x = z}

2. F ={(x, y, z) ∈ R^3 | x + y + z = 0 et x − y − z = 1}

3. G ={(a + b, ab, a − b) | (a, b) ∈ R^2}

[mtschoon]

@Robz , bonjour,

Quelques pistes à expliciter avec rigueur (ce ne sont que des pistes)

Il y a plusieurs propriétés caractéristiques des SEV.

En utilisant celles que tu donnes, tu dois constater que $E$ et $F$ ne sont pas des sous-espaces vectoriels de $R^3$

Pour $E$
Par exemple,
soit $V_1=(1,1,2)$ ; $V_1\in E$ vu que $x=y$
soit $V_2=(2,0,2)$ ; $V_2\in E$ vu que $z=x$
mais $V_1+V_2=(3,1,4)$ donc $V1+V_2\notin E$

Pour $F$
Par exemple,
en prenant $x=y=z=0$, on obtient :
0+0+0=0 Vrai
mais 0-0-0=1 Faux
$0_3\notin F$

Pour G, tout à l'air de convenir ;
$G$ est un sous-espace vectoriel de $R^3$

i)
En prenant $a=b=0$, tu dois prouver facilement que $0_3\in G$
ii)
soit $V_1=(a_1+b_1,a_1{b}_1,a_1-b_1)$
soit $V_2=(a_2+b_2,a_2{b}_2,a_2-b_2)$
d'où :
$\lambda V_1=(\lambda (a_1+b_1),\lambda (a_1{b}_1,\lambda (a_1-b_1))$

Tu explicites $\lambda V_1+V_2$ et tu dois pouvoir conclure que $\lambda V_1+V_2\in G$

Bons calculs .