Matrice d'un système dans une base

Bonjour j'ai besoin d'aide de votre part pour cet exercice dont je bloque dessus.
I )
E = IR² soient B = ( e1; e2 ) et C = ( ε1 ; ε2 ) tels que e1 = ( 1; -1) , e2 = (0 ; 2 ) , ε1 = (2; 4) et ε2 = ( 1 ; -2 ).
Determiner M ( B, Bo ) , M ( C, Bo ) , det( B,Bo ) et det( C,Bo) où Bo est la base canonique de IR² et conclure.Trouver les coordonnées de w = ( 5; -7) dans la base B puis dans la base C.
ll )
E = IR³ soit B = ( e1;e2; e3 ) telle que e1 = ( 2; 3; 0 ) , e2 = ( -1; 5; 2 ) , et e3 = ( 3; -2; -2 ). B est-elle une base ?
Besoin d'aide svp

@medou-coulibaly , bonjour,

Queques pistes mais je ne connais pas les notations utilisées (qui doivent être celles de ton cours) , alors reposte si j'ai mal interprété.

Je suppose que $M(B,B_0)$ est la matrice carrée formée par les coordonnées des éléments de $B$ dans la base $B_0$ ; tu as peut-être la notation "matrice de passage". Idem pour $M(C,B_0)$

Regarde ton cours,

$2)M(B,B_0)=\begin{pmatrix}1\ \ \ 0\cr-1\ 2\end{pmatrix}$

$2∣=(1×2)−(0×(−1))=2det(B,B_0)=\begin{vmatrix}1\ \ \ 0\cr-1\ 2\end{vmatrix}=(1\times 2)-(0\times (-1))=2$

$det(B,B0)≠0det(B,B_0)\ne 0$ donc $B$ est une base de $R^2$

Tu appliques exactement la même méthode pour $C$ et tu pourras déduire aussi que $C$ est une base de $R^2$

Pour trouver les coordonnées $(x, y)$ de $w$ dans la base $B$ , il y a plusieurs formulations possibles qui arrivent au même système à résoudre.
Alors, choisis celle qui correspond le mieux à ton cours.

En utilisant $M(B,B_0)$ , tu peux écrire puis expliciter :
$2)×(xy)\begin{pmatrix} 5\cr-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\ \ \ 0\cr-1\ 2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} x\cr y\end{pmatrix}$

Tu peux aussi écrire , plus simplement, en ligne :
$w=xe_1+ye_2$ , c'est à dire $(5, - 7) = x (1, - 1) + y (0, 2)$

ou bien en colonne :
$(5−7)=x(1−1)+y(02)\begin{pmatrix} 5\cr-7\end{pmatrix}=x \begin{pmatrix} 1\cr -1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} 0\cr 2\end{pmatrix}$

Tu arrives ainsi au système :
${5=x(1)+y(0)−7=x(−1)+y(2)\begin{cases} 5=x(1)+y(0)\cr -7=x(-1)+y(2)\end{cases}$

Tu simplifes, tu résous et tu dois trouver, sauf erreur, $x = 5$ et $y = - 1$

Tu appliques exactement la même méthode pour trouver les coordonnées de $w$ dans la base $C$

Revois tout ça et essaie de poursuivre.

@mtschoon Bonjour madame j'ai lu votre réponse et je vais travailler dessus

OK @medou-coulibaly et bon travail !

@mtschoon merci Madame je vais rispoter si possible

@mtschoon madame dans les coordonnées de x , y dans la base C là, quand je fais trouve
x = 5/4 et y = 5/2
Maintenant quand je remplace dans les systèmes d'équations, pour la première ligne ça tombe
Mais pour la seconde ligne ça ne tombe pas.
J'ai besoin d'aide.

@medou-coulibaly , je pense que tu parles des coordonnées de $w$ dans la base $C$

$(5−7)=x(24)+y(1−2)\begin{pmatrix}5\cr-7\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}2\cr 4\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1\cr-2\end{pmatrix}$

Tu obtiens le système :

${5=2x+y−7=4x−2y\begin{cases}5=2x+y\cr -7=4x-2y\end{cases}$

Refais tes calculs avec la méthode de ton choix : substitution ou combinaison ou formules de cramer

Tu dois trouver , sauf erreur $x=38x=\dfrac{3}{8}$ et $y=174y=\dfrac{17}{4}$

@medou-coulibaly

Vu que tu as indiqué dans un précédent topic que tu connais les formules de cramer, tu peux les utiliser si tu le souhaites.

$−2∣D=\begin{vmatrix} 2\ \ \ \ \ 1\cr 4\ -2\end{vmatrix}$

$−2∣D_1=\begin{vmatrix} 5\ \ \ \ \ \ \ 1\cr -7\ -2 \end{vmatrix}$

$−7∣D_2=\begin{vmatrix} 2\ \ \ \ \ \ \ 5\cr 4 \ \ -7 \end{vmatrix}$

$x=D1Dx=\dfrac{D_1}{D}$ et $y=D2Dy=\dfrac{D_2}{D}$

Tu trouveras les réponses proposées ci-dessus.

@mtschoon ok d'accord madame je vais revoir mes calculs merci beaucoup madame

@mtschoon ok compris madame

C'est bien @medou-coulibaly

J'espère que tu es passé maintenant à la question II

Si cela correspond à ton cours, je te conseille d'utiliser la même méthode qu'à la question I

Base canonique $B_0$ de $R^3$ $((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))$

Tu détermines $M (B, B o)$ , tu calcules $d e t (B, B o)$

Si tu trouves $)\ne 0$ , tu déduis que $B$ est une base de $R^3$
Si tu trouves $d e t (B, B o) = 0$ , tu déduis que $B$ n'est pas une base de $R^3$

Bons calculs.

@mtschoon Bonjour madame je n'arrive pas bien comprendre cette partie là, car il y a 3 fois e avec leurs coordonnées or j'avais l'habitude de travailler avec 2 fois e c'est-à-dire e1 et e2

Bonsoir @medou-coulibaly ,

Je viens de regarder ta question que maintenant...
Bien trop tard pour de donner de l'aide.
Je te réponds demain.

@mtschoon ok d'accord madame

@medou-coulibaly , bonjour,

J'ignore ce qui est dit dans ton cours sur $R^3$ ...

Tu peux traiter la question II de différentes façons .

je t'indique des pistes sur 2 méthodes. A toi de choisir celle qui correspond à ton cours.

1ère méthode (en traitant la question II comme la question I)

Dans $R^2$ , $B_0=(e_1,e_2)$ constitue la base canonique, avec $e_1=(1,0)$ et $e_2=(0,1)$

De même, dans $R^3$ , $B_0=(e_1,e_2,e_3)$ constitue la base canonique, avec $e_1=(1,0,0)$ , $e_2=(0,1,0)$ et $e_3=(0,0,1)$

L'intérêt de la base canonique est que pour tout vecteur $v$ de l'espace vectoriel $R^3$ , comme dans $R^2$ , les coordonnées de $v$ dans la base canonique sont données par les éléments qui constituent $v$ .
Par exemple, $2,3,0)=2e_1+3e_2+0e_3$ , etc

Tu peux donc écrire :
$−2)M(B,B_0)=\begin{pmatrix}2\ -1\ \ \ \ 3\cr 3\ \ \ \ \ 5\ -2\cr 0\ \ \ \ \ 2\ -2\end{pmatrix}$

Le déterminant associé est
$−2∣det(B,B_0)=\begin{vmatrix}2\ -1\ \ \ \ 3\cr 3\ \ \ \ \ 5\ -2\cr 0\ \ \ \ \ 2\ -2\end{vmatrix}$

Il te reste à calculer ce déterminant.
Sauf erreur, tu dois trouver : $det(B,B_0)=0$ , donc , par théorème, tu peux conclure que $B$ n'est pas une base.

@medou-coulibaly

2ème méthode (en utilisant la définition de base, sans parler de base canonique)

Une base est une partie à la fois libre et génératrice.
Tu peux commencer pour savoir si $B$ est une partie libre.

Tu dois trouver tous les $a, b, c$ réels tels que :
$a (2, 3, 0) + b (- 1, 5, 2) + c (3, - 2, - 2) = (0, 0, 0)$
c'est à dire :
${2a−b+3c=03a+5b−2c=00a+2b−2c=0\begin{cases}2a-b+3c=0\cr 3a+5b-2c=0\cr 0a+2b-2c=0\end{cases}$

Soir $D$ le déterminant (principal) du système :

$−2∣D=\begin{vmatrix}2\ -1\ \ \ \ 3\cr 3\ \ \ \ \ 5\ -2\cr 0\ \ \ \ \ 2\ -2\end{vmatrix}$

(Tu retrouves le déterminant de la première méthode)

Après calcul, $D = 0$

Si tu consultes ton cours sur "cramer", lorsque $D = 0$ , tu sais que le système n'a pas un triplet unique de solutions ; il est impossible ou indéterminé.

Ici, le système n'est pas impossible vu qu $(0, 0, 0)$ est "solution évidente". Il est indéterminé (infinité de solutions).

Donc cette partie $B$ n'est pas libre, donc $B$ n'est pas une base.

Remarque : la première méthode est plus rapide car elle évite de passer par le système, mais si tu ne la connais pas, utilise la seconde.

Bons calculs.

@mtschoon merci beaucoup madame, je comprends maintenant

De rien @medou-coulibaly et bon travail !

@mtschoon Bonjour madame j'ai du mal à montrer que :
| 2 −1 3 |
Det(Ɓ,Ɓ₀ ) = | 3 5 −2 |
| 0 2 −2 |
Det (Ɓ,Ɓ₀) = 0 afin de conclure que ce n'est pas une base ℝ³

@medou-coulibaly , bonjour,

Je t'ai indiqué deux méthodes ne sachant pas ce qui est indiqué dans ton cours.
Relis les.

La première méthode (qui est un raccourci de la seconde) consiste à utiliser une théorème (donc sans démonstration)

Lorsque le déterminant $D$ de la matrice de passage de la base canonique $B_0$ à $B$ est non nul, alors $B$ est une base.

Lorsque le déterminant $D$ de la matrice de passage de la base canonique $B_0$ à $B$ est nul, alors $B$ n'est une base.

Si ce théorème ne figure pas dans ton cours, tu fais les calculs indiqués dans la seconde méthode.

Tu démontre (voir les calculs) que $B$ n'est pas une partie libre donc pas une base.

@mtschoon oui ces deux méthodes ont été évoqué dans mon cours
Merci beaucoup madame je comprends maintenant

@medou-coulibaly , c'est bien.