Matrice d'un système dans une base


  • medou coulibaly

    Bonjour j'ai besoin d'aide de votre part pour cet exercice dont je bloque dessus.
    I )
    E = IR² soient B = ( e1; e2 ) et C = ( ε1 ; ε2 ) tels que e1 = ( 1; -1) , e2 = (0 ; 2 ) , ε1 = (2; 4) et ε2 = ( 1 ; -2 ).
    Determiner M ( B, Bo ) , M ( C, Bo ) , det( B,Bo ) et det( C,Bo) où Bo est la base canonique de IR² et conclure.Trouver les coordonnées de w = ( 5; -7) dans la base B puis dans la base C.
    ll )
    E = IR³ soit B = ( e1;e2; e3 ) telle que e1 = ( 2; 3; 0 ) , e2 = ( -1; 5; 2 ) , et e3 = ( 3; -2; -2 ). B est-elle une base ?
    Besoin d'aide svp 🙏


  • mtschoon

    @medou-coulibaly , bonjour,

    Queques pistes mais je ne connais pas les notations utilisées (qui doivent être celles de ton cours) , alors reposte si j'ai mal interprété.

    Je suppose que M(B,B0)M(B,B_0)M(B,B0) est la matrice carrée formée par les coordonnées des éléments de BBB dans la base B0B_0B0 ; tu as peut-être la notation "matrice de passage". Idem pour M(C,B0)M(C,B_0)M(C,B0)

    Regarde ton cours,

    M(B,B0)=(1   0−1 2)M(B,B_0)=\begin{pmatrix}1\ \ \ 0\cr-1\ 2\end{pmatrix}M(B,B0)=(1   01 2)

    det(B,B0)=∣1   0−1 2∣=(1×2)−(0×(−1))=2det(B,B_0)=\begin{vmatrix}1\ \ \ 0\cr-1\ 2\end{vmatrix}=(1\times 2)-(0\times (-1))=2det(B,B0)=1   01 2=(1×2)(0×(1))=2

    det(B,B0)≠0det(B,B_0)\ne 0det(B,B0)=0 donc BBB est une base de R2R^2R2

    Tu appliques exactement la même méthode pour CCC et tu pourras déduire aussi que CCC est une base de R2R^2R2

    Pour trouver les coordonnées (x,y)(x,y)(x,y)de www dans la base BBB , il y a plusieurs formulations possibles qui arrivent au même système à résoudre.
    Alors, choisis celle qui correspond le mieux à ton cours.

    En utilisant M(B,B0)M(B,B_0)M(B,B0), tu peux écrire puis expliciter :
    (5−7)=(1   0−1 2)×(xy)\begin{pmatrix} 5\cr-7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\ \ \ 0\cr-1\ 2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} x\cr y\end{pmatrix}(57)=(1   01 2)×(xy)

    Tu peux aussi écrire , plus simplement, en ligne :
    w=xe1+ye2w=xe_1+ye_2w=xe1+ye2 , c'est à dire (5,−7)=x(1,−1)+y(0,2)(5,-7)=x(1,-1)+y(0,2)(5,7)=x(1,1)+y(0,2)

    ou bien en colonne :
    (5−7)=x(1−1)+y(02)\begin{pmatrix} 5\cr-7\end{pmatrix}=x \begin{pmatrix} 1\cr -1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix} 0\cr 2\end{pmatrix}(57)=x(11)+y(02)

    Tu arrives ainsi au système :
    {5=x(1)+y(0)−7=x(−1)+y(2)\begin{cases} 5=x(1)+y(0)\cr -7=x(-1)+y(2)\end{cases}{5=x(1)+y(0)7=x(1)+y(2)

    Tu simplifes, tu résous et tu dois trouver, sauf erreur, x=5x=5x=5 et y=−1y=-1y=1

    Tu appliques exactement la même méthode pour trouver les coordonnées de www dans la base CCC

    Revois tout ça et essaie de poursuivre.


  • medou coulibaly

    @mtschoon Bonjour madame j'ai lu votre réponse et je vais travailler dessus


  • mtschoon

    OK @medou-coulibaly et bon travail !


  • medou coulibaly

    @mtschoon merci Madame je vais rispoter si possible


  • medou coulibaly

    @mtschoon madame dans les coordonnées de x , y dans la base C là, quand je fais trouve
    x = 5/4 et y = 5/2
    Maintenant quand je remplace dans les systèmes d'équations, pour la première ligne ça tombe
    Mais pour la seconde ligne ça ne tombe pas.
    J'ai besoin d'aide.


  • mtschoon

    @medou-coulibaly , je pense que tu parles des coordonnées de www dans la base CCC

    (5−7)=x(24)+y(1−2)\begin{pmatrix}5\cr-7\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}2\cr 4\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1\cr-2\end{pmatrix}(57)=x(24)+y(12)

    Tu obtiens le système :

    {5=2x+y−7=4x−2y\begin{cases}5=2x+y\cr -7=4x-2y\end{cases}{5=2x+y7=4x2y

    Refais tes calculs avec la méthode de ton choix : substitution ou combinaison ou formules de cramer

    Tu dois trouver , sauf erreur x=38x=\dfrac{3}{8}x=83 et y=174y=\dfrac{17}{4}y=417


  • mtschoon

    @medou-coulibaly

    Vu que tu as indiqué dans un précédent topic que tu connais les formules de cramer, tu peux les utiliser si tu le souhaites.

    D=∣2     14 −2∣D=\begin{vmatrix} 2\ \ \ \ \ 1\cr 4\ -2\end{vmatrix}D=2     14 2

    D1=∣5       1−7 −2∣D_1=\begin{vmatrix} 5\ \ \ \ \ \ \ 1\cr -7\ -2 \end{vmatrix}D1=5       17 2

    D2=∣2       54  −7∣D_2=\begin{vmatrix} 2\ \ \ \ \ \ \ 5\cr 4 \ \ -7 \end{vmatrix}D2=2       54  7

    x=D1Dx=\dfrac{D_1}{D}x=DD1 et y=D2Dy=\dfrac{D_2}{D}y=DD2

    Tu trouveras les réponses proposées ci-dessus.


  • medou coulibaly

    @mtschoon ok d'accord madame je vais revoir mes calculs merci beaucoup madame


  • medou coulibaly

    @mtschoon ok compris madame


  • mtschoon

    C'est bien @medou-coulibaly

    J'espère que tu es passé maintenant à la question II

    Si cela correspond à ton cours, je te conseille d'utiliser la même méthode qu'à la question I

    Base canonique B0B_0B0 de R3R^3R3 ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))

    Tu détermines M(B,Bo)M ( B, Bo )M(B,Bo) , tu calcules det(B,Bo)det( B,Bo )det(B,Bo)

    Si tu trouves det(B,Bo)≠0det( B,Bo )\ne 0det(B,Bo)=0 , tu déduis que BBB est une base de R3R^3R3
    Si tu trouves det(B,Bo)=0det( B,Bo )= 0det(B,Bo)=0 , tu déduis que BBB n'est pas une base de R3R^3R3

    Bons calculs.


  • medou coulibaly

    @mtschoon Bonjour madame je n'arrive pas bien comprendre cette partie là, car il y a 3 fois e avec leurs coordonnées or j'avais l'habitude de travailler avec 2 fois e c'est-à-dire e1 et e2


  • mtschoon

    Bonsoir @medou-coulibaly ,

    Je viens de regarder ta question que maintenant...
    Bien trop tard pour de donner de l'aide.
    Je te réponds demain.


  • medou coulibaly

    @mtschoon ok d'accord madame


  • mtschoon

    @medou-coulibaly , bonjour,

    J'ignore ce qui est dit dans ton cours sur R3R^3R3 ...

    Tu peux traiter la question II de différentes façons .

    je t'indique des pistes sur 2 méthodes. A toi de choisir celle qui correspond à ton cours.

    1ère méthode (en traitant la question II comme la question I)

    Dans R2R^2R2, B0=(e1,e2)B_0=(e_1,e_2)B0=(e1,e2) constitue la base canonique, avec e1=(1,0)e_1=(1,0)e1=(1,0) et e2=(0,1)e_2=(0,1)e2=(0,1)

    De même, dans R3R^3R3, B0=(e1,e2,e3)B_0=(e_1,e_2,e_3)B0=(e1,e2,e3) constitue la base canonique, avec e1=(1,0,0)e_1=(1,0,0)e1=(1,0,0) , e2=(0,1,0)e_2=(0,1,0)e2=(0,1,0) et e3=(0,0,1)e_3=(0,0,1)e3=(0,0,1)

    L'intérêt de la base canonique est que pour tout vecteur vvv de l'espace vectoriel R3R^3R3, comme dans R2R^2R2, les coordonnées de vvv dans la base canonique sont données par les éléments qui constituent vvv.
    Par exemple, (2,3,0)=2e1+3e2+0e3(2,3,0)=2e_1+3e_2+0e_3(2,3,0)=2e1+3e2+0e3 , etc

    Tu peux donc écrire :
    M(B,B0)=(2 −1    33     5 −20     2 −2)M(B,B_0)=\begin{pmatrix}2\ -1\ \ \ \ 3\cr 3\ \ \ \ \ 5\ -2\cr 0\ \ \ \ \ 2\ -2\end{pmatrix}M(B,B0)=2 1    33     5 20     2 2

    Le déterminant associé est
    det(B,B0)=∣2 −1    33     5 −20     2 −2∣det(B,B_0)=\begin{vmatrix}2\ -1\ \ \ \ 3\cr 3\ \ \ \ \ 5\ -2\cr 0\ \ \ \ \ 2\ -2\end{vmatrix}det(B,B0)=2 1    33     5 20     2 2

    Il te reste à calculer ce déterminant.
    Sauf erreur, tu dois trouver : det(B,B0)=0det(B,B_0)=0det(B,B0)=0, donc , par théorème, tu peux conclure que BBB n'est pas une base.


  • mtschoon

    @medou-coulibaly

    2ème méthode (en utilisant la définition de base, sans parler de base canonique)

    Une base est une partie à la fois libre et génératrice.
    Tu peux commencer pour savoir si BBB est une partie libre.

    Tu dois trouver tous les a,b,ca,b,ca,b,c réels tels que :
    a(2,3,0)+b(−1,5,2)+c(3,−2,−2)=(0,0,0)a(2,3,0)+b(-1,5,2)+c(3,-2,-2)=(0,0,0)a(2,3,0)+b(1,5,2)+c(3,2,2)=(0,0,0)
    c'est à dire :
    {2a−b+3c=03a+5b−2c=00a+2b−2c=0\begin{cases}2a-b+3c=0\cr 3a+5b-2c=0\cr 0a+2b-2c=0\end{cases}2ab+3c=03a+5b2c=00a+2b2c=0

    Soir DDD le déterminant (principal) du système :

    D=∣2 −1    33     5 −20     2 −2∣D=\begin{vmatrix}2\ -1\ \ \ \ 3\cr 3\ \ \ \ \ 5\ -2\cr 0\ \ \ \ \ 2\ -2\end{vmatrix}D=2 1    33     5 20     2 2

    (Tu retrouves le déterminant de la première méthode)

    Après calcul, D=0D=0D=0

    Si tu consultes ton cours sur "cramer", lorsque D=0D=0D=0, tu sais que le système n'a pas un triplet unique de solutions ; il est impossible ou indéterminé.

    Ici, le système n'est pas impossible vu qu(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0) est "solution évidente". Il est indéterminé (infinité de solutions).

    Donc cette partie BBB n'est pas libre, donc BBB n'est pas une base.

    Remarque : la première méthode est plus rapide car elle évite de passer par le système, mais si tu ne la connais pas, utilise la seconde.

    Bons calculs.


  • medou coulibaly

    @mtschoon merci beaucoup madame, je comprends maintenant


  • mtschoon

    De rien @medou-coulibaly et bon travail !


  • medou coulibaly

    @mtschoon Bonjour madame j'ai du mal à montrer que :
    | 2 −1 3 |
    Det(Ɓ,Ɓ₀ ) = | 3 5 −2 |
    | 0 2 −2 |
    ​Det (Ɓ,Ɓ₀) = 0 afin de conclure que ce n'est pas une base ℝ³


  • mtschoon

    @medou-coulibaly , bonjour,

    Je t'ai indiqué deux méthodes ne sachant pas ce qui est indiqué dans ton cours.
    Relis les.

    La première méthode (qui est un raccourci de la seconde) consiste à utiliser une théorème (donc sans démonstration)

    Lorsque le déterminant DDD de la matrice de passage de la base canonique B0B_0B0 à BBB est non nul, alors BBB est une base.

    Lorsque le déterminant DDD de la matrice de passage de la base canonique B0B_0B0 à BBB est nul, alors BBB n'est une base.

    Si ce théorème ne figure pas dans ton cours, tu fais les calculs indiqués dans la seconde méthode.

    Tu démontre (voir les calculs) que BBB n'est pas une partie libre donc pas une base.


  • medou coulibaly

    @mtschoon oui ces deux méthodes ont été évoqué dans mon cours
    Merci beaucoup madame je comprends maintenant


  • mtschoon

    @medou-coulibaly , c'est bien.


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