Tranformation double somme pour série géométrique
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Pphiljourney dernière édition par
Bonjour!
J'essaie de comprendre la solution d'un exercice dans laquelle on utilise la formule de la série géométrique. Concrètement, d'après la solution, on obtient,
∑k=1nk(1−p)k−1p=∑s=1n∑k=sn(1−p)k−1p\displaystyle{\sum_{k = 1}^{n}k(1-p)^{k-1}p = \sum_{s =1}^n \sum_{k = s}^n (1-p)^{k-1}p}k=1∑nk(1−p)k−1p=s=1∑nk=s∑n(1−p)k−1p
=∑s=1np∑k=sn(1−p)k−1=(⋆)∑s=1np(1−p)s−1−(1−p)n1−(1−p)=\displaystyle{\sum_{s =1}^n p \sum_{k = s}^n (1-p)^{k-1} \stackrel{(\star)}{=} \sum_{s=1}^np \frac{(1-p)^{s-1}-(1-p)^n}{1-(1-p)} }=s=1∑npk=s∑n(1−p)k−1=(⋆)s=1∑np1−(1−p)(1−p)s−1−(1−p)n
=∑s=1n(1−p)s−1−(1−p)n=∑s=1np(1−p)s−1−(1−p)n1−(1−p)=\displaystyle{\sum_{s=1}^n (1-p)^{s-1}-(1-p)^n = \sum_{s=1}^np \frac{(1-p)^{s-1}-(1-p)^n}{1-(1-p)} }=s=1∑n(1−p)s−1−(1−p)n=s=1∑np1−(1−p)(1−p)s−1−(1−p)n
Je ne comprends pas l'égalité (⋆)(\star)(⋆), malgré la solution. En appliquant Sn=a1(1−rn)1−rS_n = a_1 \dfrac{(1-r^n)}{1-r}Sn=a11−r(1−rn), je trouve pour (⋆)(\star)(⋆): ∑s=1np(1−p)s−1(1−(1−p)n)1−(1−p)\displaystyle{\sum_{s=1}^n p \frac{(1-p)^{s-1}(1-(1-p)^n)}{1-(1-p)}}s=1∑np1−(1−p)(1−p)s−1(1−(1−p)n)
Je n'arrive pas à trouver l'erreur dans mon raisonnement.
Merci pour vos commentaires
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mtschoon dernière édition par mtschoon
@philjourney , bonjour,
Je crois voir ton erreur sur la formule (*)
Dans l'expression donnée, il faut calculer la somme des termes (1−p)k−1(1-p)^{k-1}(1−p)k−1 de k=s\boxed{k=s}k=s jusqu'à k=nk=nk=n
j'ai l'impression que c'est là qu'il y a une confusion dans ton calcul.
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mtschoon dernière édition par
Si besoin, j'explicite cette somme.
∑k=sk=n(1−p)k−1=∑k=1k=n(1−p)k−1−∑k=1k=s−1(1−p)k−1\displaystyle \sum_{k=s}^{k=n}(1-p)^{k-1}=\sum_{k=1}^{k=n}(1-p)^{k-1}-\sum_{k=1}^{k=s-1}(1-p)^{k-1}k=s∑k=n(1−p)k−1=k=1∑k=n(1−p)k−1−k=1∑k=s−1(1−p)k−1
Or,
∑k=1k=n(1−p)k−1=1−(1−p)n1−(1−p)\displaystyle \sum_{k=1}^{k=n}(1-p)^{k-1}=\dfrac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)}k=1∑k=n(1−p)k−1=1−(1−p)1−(1−p)n∑k=1k=s−1(1−p)k−1=1−(1−p)s−11−(1−p)\displaystyle \sum_{k=1}^{k=s-1}(1-p)^{k-1}=\dfrac{1-(1-p)^{s-1}}{1-(1-p)}k=1∑k=s−1(1−p)k−1=1−(1−p)1−(1−p)s−1
En faisant la différence, tu obtiens :
∑k=sk=n(1−p)k−1=1−(1−p)n1−(1−p)−1−(1−p)s−11−(1−p)\displaystyle \sum_{k=s}^{k=n}(1-p)^{k-1}=\dfrac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)}-\dfrac{1-(1-p)^{s-1}}{1-(1-p)}k=s∑k=n(1−p)k−1=1−(1−p)1−(1−p)n−1−(1−p)1−(1−p)s−1En réduisant au même dénominateur, tu obtiens :
∑k=sk=n(1−p)k−1=1−(1−p)n−(1−(1−p)s−1)1−(1−p)\displaystyle \sum_{k=s}^{k=n}(1-p)^{k-1}=\dfrac{1-(1-p)^n-\biggr(1-(1-p)^{s-1}\biggr)}{1-(1-p)}k=s∑k=n(1−p)k−1=1−(1−p)1−(1−p)n−(1−(1−p)s−1)
En simplifiant le numérateur :
∑k=sk=n(1−p)k−1=(1−p)s−1−(1−p)n1−(1−p)\displaystyle \sum_{k=s}^{k=n}(1-p)^{k-1}=\dfrac{(1-p)^{s-1}-(1-p)^{n}}{1-(1-p)}k=s∑k=n(1−p)k−1=1−(1−p)(1−p)s−1−(1−p)nC'est bien ce qui est marqué dans la "solution".
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Pphiljourney dernière édition par
@mtschoon merci beaucoup pour ta réponse, j'ai compris mon erreur
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mtschoon dernière édition par
C'est parfait @philjourney et bon travail !