Encadrement de la division euclidienne: trouver le Reste en calcul litéral

Bonjour,

je ne suis pas certain du niveau dans lequel poster cette question, mais étant donné que le niveau attendu est celui de troisième, j'ai pensé qu'il serait judicieux de poster ici. Ma question est en deux parties :

A) explication de l'encadrement de la division euclidienne :

Dans une explication qui m'a été donnée dont je ne citerai pas la source , on indique les choses suivantes :

" Division euclidienne de a par b ( b ≠ 0 ) , on détermine q ( quotient ) et r ( reste ) tels que

a ( dividende ) = b ( diviseur ) x q + r
et 0 ≤ r < b

jusqu'ici tout va bien, je suis et je comprends . là où cela se corse c'est quand on décide d'ajouter b x q à chaque membre de la double inégalité :

b x q + 0 ≤ b x q + r < b x q + b
b x q ≤ a < b x ( q + 1)

==> quel est l'intéret d'ajouter b x q à chaque membre de l'inégalité ?
==> et surtout, comment b x q + b peut il ensuite donner b x ( q + 1) ?

B) Exercice avec calcul littéral :

*les lettres a et a' désignent des entiers naturels. Dans la division euclidienne de a par 11, le reste est r. Dans la division euclidienne de a' par 11, le reste est r'.

==> déterminer le reste dans la division euclidienne de 3a par 11

alors personnellement j'avais déroulé la logique suivante :

on sait que a / 11 = q + r
donc 3a / 11 = 3 x ( a / 11 ) = 3 x ( q + r ) = ( 3 x a ) + ( 3 x r )

j'en déduis que le reste dans la division euclidienne de 3a par 11 est de 3r, avec l'encadrement suivant :

0 ≤ 3r < 11

le corrigé indique que ma réponse est correcte mais incomplète, car eux prévoient 3 cas de figure:

1er cas : 0 ≤ 3r < 11
2ème cas : 11 ≤ 3r < 22
en enlevant 11 à chaque membre de cette inégalité on obtient 0 ≤ 3r - 11 < 11
on fait apparaitre artificiellement 3r-11 dans l'inégalité 3a = 11 (3q) + 3r on obtient
3a = 11(3q) + 11 + 3r - 11 soit
3a = 11[3q + 1] +3r- 11
et comme 0 ≤ 3r -11< 11 la dernière égalité permet d'affirmer que, dans ce cas, le reste de la division euclidienne de 3a par 11 est 3r - 11.
3ème cas: 22 ≤ 3r < 33
en enlevant 22 à chaque membre ....etc

==> alors là, je suis totalement pommé, je ne comprends pas pourquoi il y a deux cas supplémentaires qui s'encadreraient entre 11 et 22 puis entre 22 et 33, ni pourquoi on soustrait ensuite 11 et 22 à chaque membre.

merci pour votre temps et vos lumières

@Geoffrey-Carré, bonjour,

Evidemment, il aurait été mieux de poser tes questions directement à la source qui t'a donné les réponses.

Je regarde un peu tes préoccupations.

Sur A) :

quel est l'intérêt d'ajouter b x q à chaque membre de l'inégalité ?
l'intérêt est d'obtenir un encadrement de $a$ (c'est le but de cette question - regarde le titre -) et on obtient ainsi l'encadrement de $a$ par deux multiples consécutifs de $b$

comment b x q + b peut il ensuite donner b x ( q + 1)

Pense que $b=b×1b=b\times 1$
Donc : $(b×q)+b=(b×q)+(b×1)(b\times q)+b=(b\times q)+(b\times 1)$
En mettant $b$ en facteur, tu obtiens :
$(b×q)+b=b×(q+1)(b\times q)+b=b\times(q+1)$

Conclusion : tu as l'encadrement
$b×q≤a≤b×(q+1)\boxed{b\times q\le a\le b\times (q+1)}$
Tu peux écrire plus simplement (le signes $×\times$ ne sont pas obligatoires):
$bq≤a≤b(q+1)\boxed{bq\le a\le b(q+1)}$

Remarque :

Un exemple concret pour l'utilisation de cette partie A.

Encadrement de $183$ par deux multiples consécutifs de $7$ :
$7×26≤183<7×277\times 26\le 183\lt 7\times 27$

Sans faire de division, tu peux déduire que le quotient $q$ de la division euclidienne de $183$ par $7$ est $26$ et que le reste $r$ est :
$r=a−bq=183−(7×26)=1r=a-bq=183-(7\times 26)=1$

@Geoffrey-Carré ,

Sur B) :

Tu as fait des confusions.

Hypothèse de l'énoncé :
Dans la division euclidienne de a par 11, le reste est r.

Cela veut dire que : $a = 11 q + r$ en appelant $q$ le quotient et $r$ le reste avec la condition : $0≤r<11\boxed{0\le r\lt 11}$

En multipliant les membres de cette double inégalité par 3, tu obtiens :
$0≤3r<33\boxed{0\le 3r\lt 33}$

Remarque :
Tu as écrit :
"on sait que a / 11 = q + r
3a / 11 = 3 x ( a / 11 ) = 3 x ( q + r ) = ( 3 x a ) + ( 3 x r )"

ces écritures sont mathématiquement fausses.

$a = 11 q + r$
En divisant chaque membre par $11$ , tu aurais dû écrire :
$a11=q+r11\dfrac{a}{11}=q+\dfrac{r}{11}$

Vu que l'on travaille ici sur des entiers, $a11\dfrac{a}{11}$ est un rationnel, donc sans intérêt ici.

Tu dois utiliser : $a=11q+r\boxed{a=11q+r}$ avec $0≤3r<33\boxed{0\le 3r\lt 33}$

En multipliant par $3$ , tu obtiens $3 a = 11 (3 q) + 3 r$

Il y a $3$ décompositions possibles (voir la correction que tu donnes, je ne refais pas les calculs)

1er cas : $0≤3r<110\le 3r\lt 11$
$(3 q)$ est le quotient de la division euclidienne de $3 a$ par $11$ , le reste est $3 r$ avec $0≤3r<110\le 3r\lt 11$

2ème cas : $11≤3r<2211\le 3r\lt 22$
$(3 q + 1)$ est le quotient de la division euclidienne de $3 a$ par $11$ , le reste est $3 r - 11$ avec $0≤3−11r<110\le 3-11r\lt 11$

3ème cas : $22≤3r<3322\le 3r\lt 33$
$(3 q + 2)$ est le quotient de la division euclidienne de $3 a$ par $11$ , le reste est $3 r - 22$ avec $0≤3r−22<110\le 3r-22\lt 11$

Bonnes réflexions.