Exercice de théorie des nombres

[Luukao _]

bonjour je viens vous demander de l'aide vis a vis d'un exercice de théorie des nombres.

faire le produit des racines réelles de ce polynôme : $35x^5+48x^4+72x^3+108x^2+162x+243=0$

merci de votre aide

[Black-Jack]

Bonjour,

Probablement pas comme attendu ...

f(x) = 35x^5 + 48x^4 + 72x^3 + 108x^2 + 162x + 243
f'(x) = ...
f''(x) = ...
f'''(x) = ...

f'''(x) est du second ordre avec un discriminant négatif et on montre alors que f'''(x) > 0 pour tout x
... et que donc f'' est strictement croissante.
f''(x) est du 3ème ordre et on peut alors trouver que f''(x) = 0 a une et une seule solution et on peut en trouver la valeur exacte (par exemple par la méthode de Cardan : https://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_cubique )
On peut déduire des 2 lignes précédentes que f'(x) a un minimum (pour la valeur exacte de x trouvée dans la ligne précédente)
En remettant cette valeur de x dans f'(x), on montre que le minimum de f'(x) est positif ... et que donc f'(x) > 0 pour tout x.
On conclut donc que f est strictement croissante et comme c'est une fonction de degré impair, il y a une et une seule caleur de x sur R telle que f(x) = 0

On peut alors déterminer cette seule solution de f(x) = 0 par approximations successives par exemple par la méthode dichotomique ... avec la précision qu'on veut (sauf la valeur exacte).

Le produit des racines réelles du polynôme donné est égal à la solution qu'on vient de trouver (puisque c'est la seule solution réelle de f(x) = 0)

[Luukao _]

@Black-Jack Merci de votre réponse, mais je crois que pour résoudre cela il faut observer la décomposition en facteur premier mais je ne comprends pas ce que l'on doit faire quand on a la décomposition?
Je trouve comme décomposition: $2^5\ast x^5+2^4\ast 3\ast x^4+2^3\ast 3^2\ast x^3+2^2\ast 3^3\ast x^2+2\ast 3^4\ast x+3^5$

[Black-Jack]

@Luukao-_ a dit dans Exercice de théorie des nombres :

produit des racines réelles de ce polynôme

Rebonjour,

Je sais trouver facilement le produit de TOUTES les racines, c'est -243/35.

Mais il s'agit alors du produit de toutes les racines (réelles et complexes)

Ici on ne demande que le produit des racines réelles ... alors, je ne sais pas si il y a un "truc" pour le faire

[Luukao _]

@Black-Jack merci d'avoir cherché mais je connaissais déjà cette astuce
Si jamais vous avez une piste de recherche je suis preneur.

[mtschoon]

Bonjour,

Je regarde un peu.

Apparemment, il faut résoudre l'équation proposée sur $R$

Soit $f(x)=2^5.x^5+2^4.3.x^4+2^3.3^2.x^3+2^2.3^3.x^2+2.3^4.x+3^5$

$f^{\prime }(x)>0$ donc $f$ strictement croissante et prend des valeurs allant de $-\infty$ à +$\infty$
Avec le TVI, on justifie l'existence et l'unicité de la solution $\alpha$ réelle de l'équation $f(x)=0$

Je ne vois pas l'intérêt de parler de produit des racines vu qu'il n'y en a qu'une...

$0$ n'est pas solution de l'équation, donc $\alpha \ne 0$

J'ai tenté de chercher $\alpha$ (non nulle) solution de
$2^5.x^5+2^4.3.x^4+2^3.3^2.x^3+2^2.3^3.x^2+2.3^4.x+3^5=0$ , en regroupant les termes du membre de gauche deux par deux.

J'ai pris le 1er et 6ème terme du membre de gauche :
$2^5{x}^5+3^5=0$ ce qui donne $x=-\frac{3}{2}$

J'ai pris le 2ème et 5ème terme du membre de gauche
$2^4.3.x^4+2.3^4.x=0$ ce qui donne $x=-\frac{3}{2}$

J'ai pris le 3ème et 4ème terme du membre de gauche
$2^3.3^2.x^3+2^2.3^3.x^2=0$ ce qui donne $x=-\frac{3}{2}$

Donc : $\alpha =-\frac{3}{2}$

[Black-Jack]

@Luukao-_ a dit dans Exercice de théorie des nombres :

@Black-Jack Merci de votre réponse, mais je crois que pour résoudre cela il faut observer la décomposition en facteur premier mais je ne comprends pas ce que l'on doit faire quand on a la décomposition?
Je trouve comme décomposition: $2^5\ast x^5+2^4\ast 3\ast x^4+2^3\ast 3^2\ast x^3+2^2\ast 3^3\ast x^2+2\ast 3^4\ast x+3^5$

Bonjour,

le polynôme que tu donnes ici n'est pas celui donné dans l'énoncé initial.
2^5 x^5 = 32x^5 .... alors que c'était 35x^5 dans l'énoncé initial.

Avec cette modification, cela devient facile, on commence par montrer qu'il n'y a qu'une seule racine réelle ... qui se trouve assez facilement par groupement des termes.

[mtschoon]

@Black-Jack ,bonjour,

Oui, c'est ce que j'ai fait , comme tu peux voir dans mon post précédent, et la décomposition en facteurs premiers était utile pour trouver la "méthode judicieuse".

@Luukao-_ a dû faire une faute de frappe dans son premier post.

[Luukao _]

@mtschoon merci beaucoup pour cette aide

[mtschoon]

De rien @Luukao-_ et bon travail !