Exercice d'analyse convexe - NIveau M1 [Besoin d'aide]


  • E

    Bonjour à tous,

    Il s'agit de mon premier post, donc si j'ai fait choses inappropriée je m'en excuse d'avance.
    Voilà, je suis en M1 de maths, et je galère pas mal sur un exo de convexité/différentiabilité.

    Voilà les hypothèse de cette exercice :
    On considère une fonction strictement convexe fff de classe C¹C¹C¹ sur RnR^{n}Rn.
    De plus, fff vérifie  ~  lim∣∣x∣∣→+∞f(x)∣∣x∣∣=+∞lim_{||x|| \to +\infty}\frac{f(x)}{||x||} = + \inftylimx+xf(x)=+.

    J'ai deux questions qui me pose problème :

    1. Soit hhh une fonction convexe de classe C¹C¹C¹ sur RnR^nRn
      Montrer que h est strictement convexe ssi ∇h\nabla hh est injectif.

    2. i) Montrer que f(x)−f(0)≤∣∣∇f(x)∣∣.∣∣x∣∣f(x) - f(0) \leq || \nabla f(x)||. ||x||f(x)f(0)f(x).x
      ii) En déduire que (∇f)−1(\nabla f)^{-1}(f)1 est continue.
      Indication : On pourra utiliser qu’une suite d’un compact ayant une
      unique valeur d’adhérence converge.

    À propos de la question 1. J'ai pu montrer la sens direct (->) à l'aide de la stricte monotonie du gradient de hhh car hhh est strictement convexe par hypothèse du sens direct.

    Concernant le sens indirecte, j'ai voulu raisonner par l'absurde. J'ai supposé que hhh n'était pas strictement convexe. Par suite j'ai supposé :
    ∃x0,y0∈Rnh(tx0+(1−t)y0)=th(x0)+(1−t)h(y0) (∗)\exists x_{0}, y_{0} \in \mathbb R^{n} h(tx_{0} + (1-t)y_{0}) = th(x_{0}) + (1 - t)h(y_{0}) ~ (*)x0,y0Rnh(tx0+(1t)y0)=th(x0)+(1t)h(y0) ()

    Je n'ai abouti à rien, j'ai essayé de jouer avec les taux d'accroissements pour me ramener à ∇h(x0)=∇h(y0)\nabla h(x_{0}) = \nabla h(y_{0})h(x0)=h(y0) et ainsi utiliser l'injectivité du gradient. Mais en vain.

    J'ai essayé une autre piste, à la place de (*), j'ai supposé cela :

    (∇h(x0)−∇h(y0)∣x0−y0)=0(\nabla h(x_{0}) - \nabla h(y_{0}) | x_{0} - y_{0}) = 0 (h(x0)h(y0)x0y0)=0. La aussi en développant le produit scalaire je n'aboutis à rien. J'aimerai bien avoir quelques piste à explorer à propos de cette question.

    Concernant la question 2 :

    J'ai réussi la question 2i) en utiliser le théorème des accroissements finis. Néanmoins la question 2ii), je sèche complètement. J'avoue ne pas savoir avec angle adopté cette question.

    J'ai voulu suivre l'indication, j'ai par suite considérer x∈Rnx \in \mathbb R^nxRn et (xn)(x_{n})(xn) qui converge vers xxx.

    J'ai voulu montrer que ∇f(xn)→∇f(x)\nabla f(x_{n}) \to \nabla f(x)f(xn)f(x) pour n→∞n \to \inftyn. En vain également. Je ne retrouve rien dans la littérature capable de m'aider pour cette question, rien dans mon cours n'est lié à l'inverse du gradient. Je pensais utiliser les théorèmes de fonction implicite, ou d'inversion globale mais je ne vois pas comment y parvenir.

    Ceci est mon premier post, mais je souhaiterai vraiment résoudre ces deux questions. Je vous remercie d'avance de m'avoir lu, et j'attends vos différentes réponses avec impatience.

    Merci d'avance.


  • mtschoon

    @eksmok , bonsoir,

    "Multipost"

    Je vois que tu as déjà des indications sur "Les-Mathematiques.net"
    (C'est un très bon forum pour l'enseignement supérieur. Je te le conseille)


Se connecter pour répondre