Plan complexe, i * i = -1, le propre de l'imaginaire

Bonjour,
à l'occasion d'un calcul dans le plan complexe, je me pose la question suivante :
dans ce plan on fait l'hypothèse qu'il existe un nombre i tel que son carré est égal à -1. Or nous savons bien qu'un tel nombre n'existe pas que dans un monde imaginaire (pas très cartésien pour des maths). Alors comment accorder crédit aux calculs ou démonstrations effectués dans ce plan complexe qui est basé sur un nombre qui n'existe pas, sur une hypothèse donc fausse ?
Je suis perplexe et, peut-être, pas assez philosophe, mais cette question me taraude depuis un moment.
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?
Merci.
Nikomo

@Nikomo , bonjour,

Dur de refaire l'histoire !

Eventuellement, tu peux consulter cette discussion ici :

https://www.developpez.net/forums/d411648/general-developpement/algorithme-mathematiques/mathematiques/demonstration-i-1-a/#:~:text=Celle-ci se base simplement sur des matrices de dimensions 2.&text=On "note" la première matrice,de 1 et de i.

@Nikomo a dit dans Plan complexe, i * i = -1, le propre de l'imaginaire :

Bonjour,
à l'occasion d'un calcul dans le plan complexe, je me pose la question suivante :
dans ce plan on fait l'hypothèse qu'il existe un nombre i tel que son carré est égal à -1. Or nous savons bien qu'un tel nombre n'existe pas que dans un monde imaginaire (pas très cartésien pour des maths). Alors comment accorder crédit aux calculs ou démonstrations effectués dans ce plan complexe qui est basé sur un nombre qui n'existe pas, sur une hypothèse donc fausse ?
Je suis perplexe et, peut-être, pas assez philosophe, mais cette question me taraude depuis un moment.
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?
Merci.
Nikomo

Bonjour,

Ne te fie pas à un raisonnement trop simple.
Les solutions imaginaires et complexes de certaines équations correspondent bel et bien à des phénomènes physiques observables.

Par exemple le mouvement d'un système oscillatoire amorti peut se décrire par une équation différentielle dont les solutions sont complexes (a + i.b) et cela peut alors se remettre dans le "temporel" sous forme d'une mouvement sinusoïdal amorti.

Il suffit de savoir par exemple que sin(x) peut se mettre sous la forme :

$\frac{e^{i.x}- e^{-i.x}}{2i}$ pour mettre à mal un raisonnement simple mais complètement faux comme le tien.

@Black-Jack
Bonjour,
merci beaucoup d'avoir pris le temps de répondre à ma question béotienne.
J'entends bien que certains phénomènes physiques observables sont modélisables dans le plan complexe comme un mouvement sinusoïdal amorti, ou certains ensembles fractales par exemples.

J'espère ne pas abuser du forum par cette dernière question : dois-je en déduire qu'un tel nombre i existe (mauvaise question ?), ou en quoi mon raisonnement simpliste est-il complètement faux ?

Cordialement,
Nikomo

Bonjour,

Le hic est le vocable utilisé "nombre imaginaire" ... qui est interprété (à tort) comme "qui n'existe donc pas" et c'est cette interprétation qui est fausse.

Les nombres réels quels qu'ils soient (décimaux, entiers naturels, entiers relatifs,rationnels, irrationnels ...) ne sont utiles en mathématiques que parce qu'ils ont été définis (ils sont décrit sans ambiguïté par des définitions). Ces nombres permettent aussi de décrire des phénomènes physiques (via des équations ...) et donc tout va pour le mieux.

C'est exactement la même chose pour d'autres types de nombres (imaginaires, complexes, hypercomplexe, quaternions ...), ils ont été définis (ils sont décrit sans ambiguïté par des définitions ) et pareillement qu'avec les nombres réels ... ils permettent aussi de décrire des phénomènes physiques (via des équations ...) et donc tout va aussi pour le mieux.

La question "Est-ce que les nombres imaginaires existent ?", n'a pas de sens.
Ils ont été définis clairement mathématiquement et il y a des multitudes d'applications (qui existent bel et bien) qui exigent de travailler avec ce type de nombres pour les décrire et les étudier.

Pour ces nombres, Il ne faut pas prendre le terme "imaginaire" comme "qui n'existe pas", cela n'a aucun sens.

@Black-Jack
Merci, merci, merci, je comprends maintenant mon erreur stupide de raisonnement mathématique.
Je retourne, désormais serein et confiant, à mes algorithmes dans le plan complexe.
J'ai beaucoup apprécié la promptitude, la qualité et la pédagogie de tes réponses, malgré la bêtise de ma question.
Encore merci.
Cordialement,
Nikomo