Diagonalisation Matrice 3x3 et Rayon de convergence Série


  • N

    Bonjour à tous,

    J'ai le sujet ci-dessous où j'aurai besoin de votre aide sur certaines question :

    Soit A une matrice carrée 3x3 égale à :
    1 1 1
    1 1 0
    1 0 0

    1. Déterminer le polynôme caractéristique P(X) de A.
    2. Calculer P(-1), P(0), P(1), P(2) et P(3).
    3. En déduire si A est diagonalisable.
    4. On note tnt_ntn = tr(AnA^nAn) où tr désigne la trace. Exprimer tnt_ntn en fonction de tn−1t_{n-1}tn1, tn−2t_{n-2}tn2, tn−3t_{n-3}tn3.
    5. Déterminer le rayon de convergence de la série ∑n=0+oo\sum_{n=0}^{+oo}n=0+oo tnt_ntnZnZ^nZn et calculer sa somme.

    Je n'ai pas eu de difficulté sur le calcul du polynôme caractéristique de la question 1.

    J'ai obtenu :

    P(x)=−x3+2x2+x−1−x^3 + 2x^2 + x - 1x3+2x2+x1

    Et en calculant les différents P(x) de la question 2, je n'ai pas de racine évidente pour ce polynôme qui n'est donc pas scindé à racine simple j'imagine.

    D'où ma conclusion pour la question 3 que A n'est pas diagonalisable.

    Du coup, comme A n'est pas diagonalisable, je suis bloqué sur la question 4 sur comment je peux exprimer facilement AnA^nAn pour en déduire l'expression de sa trace.

    Et donc je suis bloqué aussi pour la question 5.

    Merci beaucoup pour votre aide.


  • mtschoon

    @Nambs97 , bonjour,

    Je reste perplexe sur ton énoncé...

    Effectivement, P(x)=−x3+2x2+x−1P(x)=-x^3+2x^2+x-1P(x)=x3+2x2+x1 est bien le polynôme caractéristique.

    Les valeurs propres ne font pas partie de { −1,0,1,2,3-1,0,1,2,31,0,1,2,3 } d'après les calculs de la question 2) ce qui semble anormal.
    Cette question ne sert donc à rien.

    On peut tenter le cas général en résolvant P(x)=0P(x)=0P(x)=0 pour le cas où il y auras un piège, et où il y aurait des valeurs propres réelles "simples" autres que celles testées à la question 2)
    Mais, pas de valeurs "simples"...
    En étudiant la fonction PPP, puis TVITVITVI , on peut prouver l'existence de trois valeurs propres réelles X1,X2,X3X_1,X_2,X_3X1,X2,X3 et en donner des expressions approchées.
    X1≈−0.80194X_1\approx -0.80194X10.80194
    X2≈0.55196X_2\approx 0.55196X20.55196
    X3≈2.24698X_3\approx 2.24698X32.24698
    Je ne vois pas ce que l'on peut faire avec de telles valeurs...

    Si tu le peux, je te conseille de t'informer auprès de ton professeur ou tes camarades pour savoir si cet énoncé est bien exact.


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