3. Équation différentielle de second ordre

Équation différentielle de second ordre

  • medou coulibaly

    Reposte :
    Intégrer l'équation différentielle suivante :
    y'' + y' - 2y = e^(-x)

  • mtschoon

    @medou coulibaly bonjour,

    Je te mets un lien vers une ED du même type que celle que tu proposes.

    Je te conseille de commencer à travailler la vidéo et en particulier la méthode pour la recherche d'une solution particulière ( vu le type de membre de droite de l'équation)

    https://www.youtube.com/watch?v=PxZmh1M9WCs

    Pistes,

    Première étape : Recherche de la solution générale de l'équation homogène y′′+y′−2y=0y''+y'-2y=0y′′+y′−2y=0

    Equation caractéristique : r2+r−2=0r^2+r-2=0r2+r−2=0
    Solutions r1=1r_1=1r1​=1 et r2=−2r_2=-2r2​=−2
    Donc, par théorème :
    y=C1ex+C2e−2xy=C_1e^{x}+C_2e^{-2x}y=C1​ex+C2​e−2x avec C1C_1C1​ er C2C_2C2​ constantes réelles.

    Deuxième étape : Recherche d'une solution particulière y0y_0y0​ de l'équation y′′+y′−2y=e−xy''+y'-2y=e^{-x}y′′+y′−2y=e−x de la forme y=ae−xy=ae^{-x}y=ae−x

    ​y0=ae−xy_0=ae^{-x}y0​=ae−x
    y0′=−ae−xy'_0=-ae^{-x}y0′​=−ae−x
    y0′′=ae−xy''_0=ae^{-x}y0′′​=ae−x

    y0′′+y0′−2y=e−xy''_0+y'_0-2y=e^{-x}y0′′​+y0′​−2y=e−x <=>ae−x−ae−x−2ae−x=e−xae^{-x}-ae^{-x}-2ae^{-x}=e^{-x}ae−x−ae−x−2ae−x=e−x
    c'est-à-dire −2ae−x=e−x-2ae^{-x}=e^{-x}−2ae−x=e−x c'est-à-dire a=−12a=-\dfrac{1}{2}a=−21​
    Donc y0=−12e−xy_0=-\dfrac{1}{2}e^{-x}y0​=−21​e−x

    Conclusion : Par théorème, la solution générale de l'équation y′′+y′−2y=e−xy''+y'-2y=e^{-x}y′′+y′−2y=e−x est la somme de la solution générale de y′′+y′−2y=0y''+y'-2y=0y′′+y′−2y=0 avec la solution particulière y0y_0y0​ de y′′+y′−2y=e−xy''+y'-2y=e^{-x}y′′+y′−2y=e−x

    Donc : la solution générale de y′′+y′−2y=e−xy''+y'-2y=e^{-x}y′′+y′−2y=e−x est :
    y=C1ex+C2e−2x−12e−x\boxed{y=C_1e^{x}+C_2e^{-2x}-\dfrac{1}{2}e^{-x}}y=C1​ex+C2​e−2x−21​e−x​ (C1C_1C1​ et C2C_2C2​ constantes réelles).

    Bons calculs.

    medou coulibaly 1 réponse
  • medou coulibaly

    @mtschoon ok j'ai compris je vais bien reprendre.

    medou coulibaly 1 réponse
  • medou coulibaly

    @medou-coulibaly
    J'ai regardé la vidéo.

  • mtschoon

    @medou-coulibaly ,
    L'explication de la vidéo me semble claire.
    C'est bien de l'avoir consulté.
    Ensuite, essaie de faire l'exercice seul et regarde si tu trouves bien la bonne réponse.

    medou coulibaly 1 réponse
  • medou coulibaly

    @mtschoon ok madame j'ai compris , merci beaucoup.Je suis là travaillé dessus en temps

Se connecter pour répondre