Équation différentielle de second ordre.

[medou coulibaly]

Reposte :
Intégrer l'équation différentielle suivante :
y'' + 4y' + 4y = sinx et trouver la solution particulière vérifiant les conditions initiales y(0) = y '(0) = 0

[Black-Jack]

Bonjour,

Classique.

a) D'abord résoudre l'équation avec second membre = 0 (sans second membre dit on aujourd'hui erronément ... puisque une équation à TOUJOURS 2 membres)

Donc résoudre : y'' + 4y' + 4y = 0
Pour ce faire il faut chercher les solutions de r² + 4r + 4 = 0
... tu devrais trouver une solution double r = 2 (ce qui est une petite complication supplémentaire ... à voir dans ton cours)

Les solutions de l'équation y'' + 4y' + y = 0 sont donc :
$y=A.e^{-2.x}+B.x.e^{-2.x}$

A et B sont des constantes qui seront déterminées ultérieurement.

b)
Il faut ensuite trouver une solutions particulière à l'équation y'' + 4y' + 4y = sin(x)

Elle sera de la forme : y = a.sin(x) + b.cos(x)
y' = a.cos(x) - b.sin(x)
y'' = -a.sin(x) - b.cos(x)

y''+4'y+y = -a.sin(x) - b.cos(x) + 4.(a.cos(x) - b.sin(x)) + 4.(a.sin(x) + b.cos(x)) = sin(x)

Par identification, on obtient le système :
-a - 4b + 4a = 1
-b + 4a + 4b = 0

qui résolu donne : b = -4/25 et a = 3/25

Une solution particulière de y'' + 4y' + 4y = sin(x) est donc : y = 3/25.sin(x) - 4/25.cos(x)

c)
Les solutions générales de y'' + 4y' + 4y = sin(x) se trouvent en sommant les solutions trouvées aux points a et b et donc sont :

$y(x)=\frac{3}{25}.sin(x)-\frac{4}{25}.cos(x)+A.e^{-2.x}+B.x.e^{-2.x}$

d)
Il reste à déterminer les valeurs des constantes A et B en se sevrant de conditions initiales y(0) = 0 et y'(0) = 0

$y(0)=-\frac{4}{25}+A=0$
$y^{\prime }(0)=\frac{3}{25}-2A+B=0$

Soit donc A = 4/25 et B = 1/5

La solution finale est alors :

$y(x)=\frac{3}{25}.sin(x)-\frac{4}{25}.cos(x)+\frac{4}{25}.e^{-2.x}+\frac{1}{5}.x.e^{-2.x}$

---

Tout cela à méditer et comprendre, recopier uniquement est sans intérêt.

Faire une attention particulière au fait que comme l'équation caractéristique a une solution double, cela implique des "choses" sur les solutions de l'équation différentielle avec second membre nul.

Le tout à vérifier, rien relu.

[medou coulibaly]

@Black-Jack Bonjour je suis là travaillé dessus

[mtschoon]

Bonjour,

Je viens de faire les calculs et je trouve pareil qu'à la réponse proposée
J'espère qu'il en sera de même pour @medou-coulibaly

[medou coulibaly]

@mtschoon Bonjour/ Bonsoir madame j'ai travaillé dessus hier et je trouve la même chose.
Je pense que je dois me baser sur les ED ça les intégrales impropres vraiment ne sont pas simples dans leurs résolutions.

[medou coulibaly]

@Black-Jack merci beaucoup j'ai fini de travailler dessus, je vous remercie .

[mtschoon]

@medou-coulibaly a dit dans Équation différentielle de second ordre. :

@mtschoon Bonjour/ Bonsoir madame j'ai travaillé dessus hier et je trouve la même chose.
Je pense que je dois me baser sur les ED ça les intégrales impropres vraiment ne sont pas simples dans leurs résolutions.

C'est sûr...les ED, c'est plus simple, mais j'imagine que si tu as des partiels à passer, il faut te préparer à tout...

[medou coulibaly]

@mtschoon ok merci Madame.j'ai compris.