Nature d'une intégrale impropre

Bonjour j'ai du mal à déterminer la nature de cette intégrale impropre, pouvez m'aider svp.
I = ∫₀⁺⁰⁰ lnx/x+e^x dx
j'ai besoin de votre aide

@medou-coulibaly , bonjour,

Merci de donner une précision :

Est ce $I=∫0+∞lnxx+exdx\displaystyle I=\int _0^{+\infty} \dfrac{lnx}{x}+e^x dx$ comme tu l'as écrit,
ou est-ce que tu as oublié les parenthèses , c'est à dire en Latex :

$I=∫0+∞lnxx+exdx\displaystyle I=\int _0^{+\infty} \dfrac{lnx}{x+e^x} dx$

@mtschoon
Bonjour madame, c'est la deuxième

@medou-coulibaly , re-bonjour,

Une remarque :

On se heurte souvent à ce problème d'écriture...

Les expressions mathématiques, écrites à la main sur une feuille de papier par exemple, utilisent souvent plusieurs lignes avec des symboles particuliers tels que traits de fraction, radicaux, etc.

Ici, sans les écritures en Latex, on est obligé d'écrire sur une seule ligne et sans les symboles usuels, alors , si nécessaire, il faut mettre des parenthèses pour la compréhension.

Par exemple, sans Latex, si tu avais écrit la fonction à intégrer sous la forme lnx / (x+e^x), il aurait été clair que le dénominateur était (x+e^x)

@medou-coulibaly

Quelques pistes pour cette intégrale.

J'abrège l'explication car elle a été vue longuement dans le précédent topic sur le sujet :
https://forum.mathforu.com/topic/33795/les-intégrales-généralisées/35

$I=∫0+∞lnxx+exdx\displaystyle I=\int_0^{+\infty}\dfrac{lnx}{x+e^x}dx$

Soit $f(x)=lnxx+exf(x)=\dfrac{lnx}{x+e^x}$

f définie, continue (donc intégrable) sur $]0,+∞[]0,+\infty[$
Valeurs "impropres" $0$ et $+∞+\infty$

$I=J+K\boxed{I=J+K}$ avec :
$J=∫01lnxx+exdx\boxed{\displaystyle J=\int_0^1\dfrac{lnx}{x+e^x}dx}$ et $K=∫1+∞lnxx+exdx\boxed{\displaystyle K=\int_1^{+\infty}\dfrac{lnx}{x+e^x}dx}$

Etude de $J$
Au voisinage de $0$ , $x+ex∼1x+e^x\sim 1$ , $f(x)∼lnxf(x)\sim lnx$
$∫01lnxdx\displaystyle \int_0^1lnxdx$ est convergente.
Cela a été démontré dans le topic sur "intégrales généralisées" joint
Donc $J$ converge.

Etude de $K$
Au voisinage de $+∞+\infty$ , $x+ex∼exx+e^x\sim e^x$ , $f(x)∼lnxexf(x)\sim \dfrac{lnx}{e^x}$

$∫1+∞lnxexdx=∫1+∞(lnx)(e−x)dx\displaystyle \int _1^{+\infty} \dfrac{lnx}{e^x} dx=\int _1^{+\infty} (lnx) (e^{-x})dx$

Majoration (fonctions positives) :

$(lnx)e−x≤xe−x(lnx)e^{-x}\le xe^{-x}$

On étudie la convergence de $∫1+∞xe−xdx\displaystyle\int _1^{+\infty} xe^{-x}dx$

Par IPP , après calculs,
$∫1Axe−xdx=[−xe−x−e−x+1]1A\displaystyle \int _1^A xe^{-x}dx=\biggr[-xe^{-x}-e^{-x}+1\biggr]_1^A$
Lorsque $A$ tend vers $+∞+\infty$ , $[−xe−x−e−x+1]1A\biggr[-xe^{-x}-e^{-x}+1\biggr]_1^A$ tend vers $1$

On en déduit les convergences utiles.

Donc $K$ converge.

Conclusion : $I$ converge

@mtschoon
Bonsoir madame, IPP , signifie quoi ?
Madame je comprends votre cheminement.
Mais , pourquoi moi-même je n'arrive pas à traiter une seule intégrale , sans l'aide de quelqu'un
Et quand vous traitez je comprends , vraiment j'ai trop de difficultés dans ce cours.

@mtschoon ok compris madame , je ferai attention prochainement.
Aussi je ne maîtrise pas le latex, et je pense qu'il me manque un bon outil de travail

@medou-coulibaly , bonsoir.

Je n'ai pas de solution miracle pour les intégrales impropres...
La pratique aide, c'est tout ce que je peux dire.

IPP est l'abréviation usuelle de "Intégration par parties"
C'est une méthode de calcul utilisé pour les transformations d'intégrales ; je pensais qu tu connaissais ; c'est pour cela que je n'ai pas détaillé.
Demande si tu as besoin d'explicitation .

Si besoin, je te mets un lien :
https://fr.khanacademy.org/math/be-6eme-secondaire4h2/x874e280f2deebfaf:analyse/x874e280f2deebfaf:integration-par-parties/a/integration-by-parts-review

@mtschoon Bonjour madame j'ai compris, merci beaucoup pour votre aide.
Oui effectivement j'ai fait l'intégration par partie en terminale.