Points entiers et cercles

Voici de quoi s'occuper :

trouver les cercles de centre entier passant par des points entiers.

Déf : un point est dit entier lorsque ses coordonnées sont des nombres entiers.

Salut,
Les cercles vont passer par des points qui n'ont pas que des coordonnées entières. En fait, tu cherches peut-être des cercles pour lesquels la relation r^2 = x^2 + y^2 est établie avec des valeurs entières pour r, x et y, du même type que
3^2 + 4^2 = 5^2 ?
Pour déterminer toutes les valeurs entières qui satisfont Pythagore, on part plutôt de 5^2 - 4^2 = 3^2 et l'on devrait arriver à montrer que le carré de chaque impair peut être écrit comme étant la différence des carrés de deux entiers consécutifs comme, par exemple:
421^2 - 420^2 = 29^2
Le ciel est gris mais ma feuille est blanche...
A+

Trois choses :

tout cercle ne passe pas nécessairement par des points entiers ;
pourquoi se limiter à un rayon entier ?
le problème n'est pas réduit à la recherche des triplets pythagoriciens.

Zauctore
Voici de quoi s'occuper :

trouver les cercles de centre entier passant par des points entiers.

Déf : un point est dit entier lorsque ses coordonnées sont des nombres entiers.

Trois choses :

tout cercle ne passe pas nécessairement par des points entiers ;
pourquoi se limiter à un rayon entier ?
le problème n'est pas réduit à la recherche des triplets pythagoriciens

Salut trois choses,
Soit O (0;0) et P(a;b) ; a;b entiers quelconques,
pour tout P; il existe c, un cercle de centre O et de rayon r
S'il n'y a pas de demande particulière quant à r (du style r entier), le problème ne semble pas tellement en être un; on trouvera toujours un rationnel ou un irrationnel pour r.
Explique moi. Merci.

Justement : quelle condition sur r² pour que le centre passe par des points entiers ? car par exemple, r² ne peut pas être égal à 3.

Zauctore
Justement : quelle condition sur r² pour que le centre passe par des points entiers ? car par exemple, r² ne peut pas être égal à 3.

Bonjour Justement,

Si, tu peux construire $s q r t$ 3 en prenant un cercle c de centre O et de diamètre AB = 2 ; tu dessines ensuite un cercle c' de centre B et de rayon unitaire (passant par O); il coupe c en P ; dans c (cercle de Thalès de AB), AB est l'hypoténuse d'un triangle rectangle en P avec un côté PB de longueur unitaire et un côté AP dont le carré vaut 3.

Bonne journée.

x² + y² = 3 en nombres entiers ?

Je m'explique : en cherchant à construire des exercices de 1re au sujet de la formule donnant la distance d'un point à une droite, je me suis arraché quelques cheveux sur les problèmes de tangentes à un cercle donné, passant par un point donné. Mon objectif était d'obtenir des points de tangence entiers et des coefficients "sympathiques" dans les équations de droite.
L'essentiel est d'avoir de "bons cercles", centrés en un point entier, passant par des points entiers.

le cercle x² + y² = 65 est un assez bon candidat.

Zauctore
Je m'explique : en cherchant à construire des exercices de 1re au sujet de la formule donnant la distance d'un point à une droite, je me suis arraché quelques cheveux sur les problèmes de tangentes à un cercle donné, passant par un point donné. Mon objectif était d'obtenir des points de tangence entiers et des coefficients "sympathiques" dans les équations de droite.
L'essentiel est d'avoir de "bons cercles", centrés en un point entier, passant par des points entiers.

le cercle x² + y² = 65 est un assez bon candidat.

je comprends vite quand on m'explique longtemps, avec un beau dessin. Merci.
85 = 49 + 36 = 81 + 4
145 = 144 + 1 = 81 + 64
Bonne nuit.

Salut. En effet, c'est une histoire de nombre entier décomposable en somme de deux carrés.