3. DM: problème d'intégrale

DM: problème d'intégrale

  • D

    Bonjour comment allez vous ? J'ai besoin de l'aide sur cet exercice que je ne parviens pas à faire.
    Pour tout entier n∈ℕ , on pose
    Iₙ=∫(0;+∞)(e^nt/(1+e^t)^n+1)dt

    1. Justifier l'existence de Iₙ
    2. Établir une relation de récurrence entre les Iₙ
    3. En déduire lim(n—>+∞) Iₙ
  • B

    Bonjour,

    Est-ce : In=∫0+∞en.t(1+et)n+1dtI_n = \int_0^{+\infty} \frac{e^{n.t}}{(1+e^t)^{n+1}} dtIn​=∫0+∞​(1+et)n+1en.t​dt

    ou bien : In=∫0+∞en.t(1+et)n+1dtI_n = \int_0^{+\infty} \frac{e^{n.t}}{(1+e^t)^n + 1} dtIn​=∫0+∞​(1+et)n+1en.t​dt

    ou bien quoi d'autre ?

    D 1 réponse
  • B

    Rebonjour,

    En présumant qu'il s'agit de In=∫0+∞en.t(1+et)n+1dtI_n = \int_0^{+\infty} \frac{e^{n.t}}{(1+e^t)^{n+1}} dt In​=∫0+∞​(1+et)n+1en.t​dt

    On fait une IPP avec :
    entdt=dve^{nt} dt = dventdt=dv →\to→ v=1n.entv = \frac{1}{n}.e^{nt}v=n1​.ent
    et
    u=1(1+et)n+1u = \frac{1}{(1+e^t)^{n+1}}u=(1+et)n+11​ →\to→ du=−(n+1)et(1+et)n+2du = -\frac{(n+1)e^t}{(1+e^t)^{n+2}}du=−(1+et)n+2(n+1)et​

    On a donc :
    In=[entn(1+et)n+1]0+∞+n+1n∫0+∞et(n+1)(1+et)n+2dtI_n = [\frac{e^{nt}}{n(1+e^t)^{n+1}}]_0^{+\infty} + \frac{n+1}{n} \int _0^{+\infty}\frac{e^{t(n+1)}}{(1+e^t)^{n+2}} dtIn​=[n(1+et)n+1ent​]0+∞​+nn+1​∫0+∞​(1+et)n+2et(n+1)​dt

    In=−12n+1.n+n+1nIn+1I_n =-\frac{1}{2^{n+1}.n} + \frac{n+1}{n} I_{n+1} In​=−2n+1.n1​+nn+1​In+1​

    Soit donc In+1=12n+1.(n+1)+nn+1.InI_{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}.(n+1)} + \frac{n}{n+1}.I_nIn+1​=2n+1.(n+1)1​+n+1n​.In​

    A toi pour le reste (point 1 et 3)

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  • D

    @Black-Jack bonjour, c'est le numéro 1

  • D

    @Black-Jack bonjour monsieur, j'ai toujours du mal à faire la question numéro 1

  • mtschoon

    Bonsoir,

    Pour la question 1), tu peux consulter tout ce qui a été fait sur ce sujet...

    Je te mets quelques pistes, qu'il faudra compléter,

    Tu dois prouver que InI_nIn​ est une intégrale convergente.

    Soit fn(x)=ent(1+et)n+1f_n(x)=\dfrac{e^{nt}}{(1+e^t)^{n+1}}fn​(x)=(1+et)n+1ent​

    fnf_nfn​ est définie, continue dons intégrable sur [0,+∞[[0,+\infty[[0,+∞[

    La seule valeur d'impropreté à étudier est +∞+\infty+∞

    Tu peux utiliser un équivalent de fnf_nfn​ au voisinage de +∞+\infty+∞

    Au voisinage de +∞+\infty+∞,ent(1+et)n+1∼ent(et)n+1\dfrac{e^{nt}}{(1+e^t)^{n+1}}\sim \dfrac{e^{nt}}{(e^t)^{n+1}}(1+et)n+1ent​∼(et)n+1ent​, c'est à dire ,ent(1+et)n+1∼e−t\dfrac{e^{nt}}{(1+e^t)^{n+1}}\sim e^{-t}(1+et)n+1ent​∼e−t

    Je te laisse prouver, avec soin, que ∫0+∞e−tdt\int _0^{+\infty} e^{-t}dt∫0+∞​e−tdt est une intégrale convergente ∫0+∞e−tdt=1\int _0^{+\infty} e^{-t}dt=1∫0+∞​e−tdt=1

    Tu peux déduire que InI_nIn​ est une intégrale convergente .

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  • D

    @mtschoon bonjour, merci beaucoup madame

  • B

    Bonjour,

    Ce n'est pas explicitement demandé et donc juste en info.

    L'intégrale InI_nIn​ se calcule très facilement, on trouve

    ∫0+∞ent(1+et)n+1dt=[entn(1+et)n]0+∞=2n−1n.2n\int_0^{+\infty} \frac{e^{nt}}{(1+e^t)^{n+1}} dt = [\frac{e^{nt}}{n(1+e^t)^n}]_0^{+\infty}= \frac{2^n - 1}{n.2^n}∫0+∞​(1+et)n+1ent​dt=[n(1+et)nent​]0+∞​=n.2n2n−1​

    On peut évidement tirer de cela que limn→+∞In=0lim_{n\to +\infty} I_n = 0limn→+∞​In​=0

    D 1 réponse
  • D

    @Black-Jack merci beaucoup monsieur

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