Injection , surjection et résolutions par récurrence

Bonjour comment allez vous ? J'ai besoin de l'aide sur un exercice que je ne parviens pas à résoudre.
1) f : A —> B et g : B —> C deux applications.
a) Montrer que : f et g injectives => gof injectives.
b) Montrer que gof surjective => g surjective.
c) pour toutes parties A₁ , A₂ de A , montrer que f(A₁ ∪ A₂) =f(A₁) ∪ f(A₂).
2) Montrer , par récurrence que ∀ n ∈ ℕ* ,2ⁿ⁻¹ ≤ n! ≤ nⁿ.
J'ai besoin de l'aide de votre part SVP.

@Donassi-soungari-Soro , bonjour,

Ici, il ne faut qu'un exercice par discussion.
Je vois que tu as posté deux exercices.

Je te donne des pistes pour l'exercice 1)
Il faudra ouvrir une autre discussion pour l'exercice 2) si tu n'arrives pas à le faire (mais il n'est pas difficile).

Regarde bien les définitions de ton cours,

a) f est injective ( de $A$ vers $B$ ) donc :

$∀a∈A\forall a \in A$ et $∀b∈A\forall b \in A$ : $a≠ba\ne b$ => $f(a)≠f(b)f(a)\ne f(b)$

$f(a)∈Bf(a)\in B$ et $f(b)∈Bf(b)\in B$ et $f(a)≠f(b)f(a)\ne f(b)$

g est injective (de $B$ ver $C$ ) donc :

$g[f(a)]≠g[f(b)]g[f(a)]\ne g[f(b)]$

c'est à dire : $(a)\ne gof (b)$

CONCLUSION :

$∀a∈A\forall a \in A$ et $∀b∈A\forall b \in A$ , $a≠ba\ne b$ => $(a)\ne gof (b)$

$g o f$ est injective (de A vers C)

@Donassi-soungari-Soro ,

Pour le b), consulte la vidéo ici :https://www.youtube.com/watch?v=nQzI6xejqOE

@Donassi-soungari-Soro , pour le c), consulte la discussion ici :

https://forum.mathforu.com/topic/22292/ensembles-et-applications/2

Bon travail.

@mtschoon bonjour, merci infiniment madame