Raisonnement par récurrence.

Bonjour, j'espère que vous allez bien. J'ai besoin de l'aide sur cet exercice que je bloque.
Montrer , par récurrence que ∀ n ∈ ℕ* ,2ⁿ⁻¹ ≤ n! ≤ nⁿ.
J'ai besoin de l'aide de votre part SVP.

@Donassi-soungari-Soro , bonjour,

Quelques pistes rapides,

Le plus simple, il me semble, est de décomposer le travail en deux parties.

Première partie : Démontrer que $∀n∈N∗,2n−1≤n!\forall n\in N^*, 2^{n-1}\le n!$

Initialisation pour $n = 1$
Je te laisse faire car c'est évident.

Transmission ( on dit aussi "hérédité" )

Hypothèse à un ordre $n$ de $N^*$ : $2n−1≤n!2^{n-1}\le n!$

Conclusion à démontrer : la propriété est vraie à l'ordre $n + 1$ , c'est à dire : $2n≤(n+1)!2^{n}\le (n+1)!$

Piste de Démonstration :

Avec l'hypothèse de la récurrence : $2n−1≤n!2^{n-1}\le n!$

En multipliant chaque membre par $2$ : $2n≤2×n!2^n\le 2\times n!$

Or, $n≥1n\ge 1$ donc $1≤n1\le n$ donc, en ajoutant $1$ à chaque membre : $2≤(n+1)2\le (n+1)$

En multipliant chaque membre de cette dernière inégalité par $(n!)$ on obtient : $2(n!)≤(n+1)(n!)2(n!)\le (n+1)(n!)$

Vu que $(n + 1) (n!) = (n + 1)!$ , on déduit que $\le (n+1)!$

La relation $≤\le$ étant transitive, on peut conclure que $2n≤(n+1)!2^{n}\le (n+1)!$

CQFD

Refais seul la démonstration pour être sûr de bien la maîtriser.
Essaie de faire la seconde partie et reposte si tu n'y arrives pas.

@mtschoon bonjour, merci infiniment madame. Je ferai la deuxième partie.

@Donassi-soungari-Soro , bonjour,

OK.
J'espère que tu va arriver à démontrer la seconde partie, sinon reposte.

@mtschoon merci beaucoup pour votre aide madame.

@Donassi-soungari-Soro , bonjour,

C'est très bien si tu es arrivé à faire seul la seconde partie.
Bon travail !

@mtschoon bonjour madame j'ai reçu à démontrer en suivant votre méthode du départ. Merci infiniment madame .

De rien @Donassi-soungari-Soro !