DM.Développement limité et calcule de limites
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Bonjour comment vous allez ? J'ai un exercice dont je bloque sur la résolution, j'aimerais besoin d'aide de votre part.
- a) Donner le développement limité de ln(cosx) à l'ordre 2.
b) Calculer lim( x-->0) [( 1+x)/ cosx ]^a/x - Calculer lim( x ---> ∞) [ 1-2/x] ^ ax
- a) Donner le développement limité de ln(cosx) à l'ordre 2.
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
a)
f(x) = ln(cos(x))
f'(x) = -sin(x)/cos(x) = -1/tan(x)
f''(x) = -1/cos²(x)f(0) = 0
f'(0) = 0
f''(0) = -1DL : -x²/2 + o(x³)
'''''''''
b)
g(x) = [(1+x)/cos(x)]^(a/x)ln(g(x)) = (a/x).(ln(1+x) - ln(cos(x))
Et, près de 0 avec la partie 1a :
ln(g(x))≃a.ln(1+x)x−ax.−x22ln(g(x)) \simeq a.\frac{ln(1+x)}{x} - \frac{a}{x}.\frac{-x^2}{2}ln(g(x))≃a.xln(1+x)−xa.2−x2
ln(g(x))≃a.ln(1+x)x+a.x2ln(g(x)) \simeq a.\frac{ln(1+x)}{x} + \frac{a.x}{2}ln(g(x))≃a.xln(1+x)+2a.x
limx→0ln[(1+xcos(x))ax]≃limx→0a.ln(1+x)x+limx→0a.x2lim_{x\to 0} ln[(\frac{1+x}{cos(x)})^{\frac{a}{x}}] \simeq lim_{x\to 0} a.\frac{ln(1+x)}{x} + lim_{x\to 0} \frac{a.x}{2}limx→0ln[(cos(x)1+x)xa]≃limx→0a.xln(1+x)+limx→02a.x
limx→0ln[(1+xcos(x))ax]≃a∗1+0lim_{x\to 0} ln[(\frac{1+x}{cos(x)})^{\frac{a}{x}}] \simeq a*1 + 0limx→0ln[(cos(x)1+x)xa]≃a∗1+0
limx→0ln[(1+xcos(x))ax]≃alim_{x\to 0} ln[(\frac{1+x}{cos(x)})^{\frac{a}{x}}] \simeq alimx→0ln[(cos(x)1+x)xa]≃a
Et donc limx→0[(1+xcos(x))ax]=ealim_{x\to 0} [(\frac{1+x}{cos(x)})^{\frac{a}{x}}] = e^alimx→0[(cos(x)1+x)xa]=ea
A vérifier et à toi pour le 2ème.
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@Black-Jack Bonjour monsieur, merci beaucoup je fais mais je n'arrive pas à avoir une issue
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BBlack-Jack dernière édition par
@medou-coulibaly a dit dans DM.Développement limité et calcule de limites :
@Black-Jack Bonjour monsieur, merci beaucoup je fais mais je n'arrive pas à avoir une issue
Il faut essayer ... par exemple :
Poser x = 1/t (et donc x--> +oo correspond à t --> 0)
lim(x--> +oo) [ 1-2/x]^(a.x) = lim(t--> 0) [1-2t]^(a/t)
f(t) = [1-2t]^(a/t)
ln(f(t)) = a/t * ln(1-2t)DL en 0 de ln(1-2t) ... à faire.
On trouve : ln(1-2t) = -2t + O(t²)Et donc
limt→0 [at∗ln(1−2t)]=limt→0[at∗(−2t)]=−2alim_{t\to 0 }\ [\frac{a}{t} * ln(1-2t)] = lim_{t\to 0} [\frac{a}{t} * (-2t)] = -2alimt→0 [ta∗ln(1−2t)]=limt→0[ta∗(−2t)]=−2aEt donc limt→0[1−2t]a/t=e−2alim_{t\to 0 } [1-2t]^{a/t} = e^{-2a}limt→0[1−2t]a/t=e−2a
limx→+∞[1−2x]a.x=e−2alim_{x\to +\infty } [1-\frac{2}{x}]^{a.x} = e^{-2a}limx→+∞[1−x2]a.x=e−2a
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@Black-Jack ok d'accord c'est compris monsieur
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@medou-coulibaly merci beaucoup pour votre aide
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@Black-Jack je n'arrive pas à avoir le DL en 0 de ln(1-2t) ...
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BBlack-Jack dernière édition par
f(t) = ln(1-2t)
f'(t) = -2/(1-2t)
f''(t) = -4/(1-2t)²f(0) = 0
f'(0) = -2
f''(0) = -4DL d'ordre 1 en 0 de ln(1+t) : 0 - 2t + o(t²) = -2t + O(t²)
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@Black-Jack ok merci beaucoup monsieur
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@Black-Jack Bonjour monsieur je pense qu'il n'y eu une petite erreur sur la 1-a )
DL : -x²/2 + o(x³)
Je pense que ça fait DL : -x²/2 + o(x²) car on dit le DL à l'ordre 2
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BBlack-Jack dernière édition par
@medou-coulibaly a dit dans DM.Développement limité et calcule de limites :
@Black-Jack Bonjour monsieur je pense qu'il n'y eu une petite erreur sur la 1-a )
DL : -x²/2 + o(x³)
Je pense que ça fait DL : -x²/2 + o(x²) car on dit le DL à l'ordre 2Bonjour,
Voila ce que donnent deux logiciels en ligne de calcul de DL (qui trouvent le même résultat que celui que j'avais donné) :
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@Black-Jack ok merci beaucoup
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Bonsoir,
Je viens de regarder la fin de ce topic .
A propos du "petit o" et "grand O", il y a une nuance.
Dans le calculateur DCODE, il ne s'agit pas visiblement du "petit o"...
De façon usuelle , en maths, on utilise le "petit o"
(Le "grand O" est plutôt utilisé en informatique et n'a pas tout à fait la même signification mathématique)
Pour l'usage du "petit o", je mets un lien à consulter, qui en donne toute l'explication et qui doit correspondre au cours de medou-coulibaly :
https://www.methodemaths.fr/developpements_limites/#petito
Formule de Taylor-Young : développement limité de f à l’ordre n au voisinage de a :
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+...+f(n)(a)n!(x−a)n+o(x−a)nf(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n+o(x-a)^nf(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+...+n!f(n)(a)(x−a)n+o(x−a)n
En particulier au voisinage de 0 :
f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+...+f(n)(0)n!xn+o(xn)\boxed{f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!} x^2+...+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n+o(x^n)}f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+...+n!f(n)(0)xn+o(xn)La remarque de @medou-coulibaly est bien exacte , avec le "petit o", bien sûr.
Bonne nuit, vu l'heure tardive.
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
J'ai malencontreusement tapé "o" à la place de "O" dans mon premier message.
J'ai été moins distrait dans les autres, où j'ai bien indiqué "O".
Par exemple :
DL en 0 de ln(1-2t) ... à faire.
On trouve : ln(1-2t) = -2t + O(t²)
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@Black-Jack oui je trouve ça je pense bien
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@mtschoon Bonjour/Bonsoir madame
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@medou-coulibaly , bonjour,
J'espère que tu n'es par géné les "petits o" et les "grands O"
Je te rappelle quelques définitions, si besoin (pour savoir exactement de quoi on parle lorsqu'on les utilise)
Au voisinage d'un point,
f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x)) veut dire que f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x) tend vers 000
f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) veut dire que ∣f(x)g(x)∣|\dfrac{f(x)}{g(x)}|∣g(x)f(x)∣ est borné
f(x)∼g(x)f(x) \sim g(x) f(x)∼g(x) veut dire que f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x) tend vers 111Bon travail !
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@mtschoon Bonjour madame merci beaucoup je comprends bien