DM.Développement limité et calcule de limites


  • medou coulibaly

    Bonjour comment vous allez ? J'ai un exercice dont je bloque sur la résolution, j'aimerais besoin d'aide de votre part.

    1. a) Donner le développement limité de ln(cosx) à l'ordre 2.
      b) Calculer lim( x-->0) [( 1+x)/ cosx ]^a/x
    2. Calculer lim( x ---> ∞) [ 1-2/x] ^ ax

  • B

    Bonjour,

    a)

    f(x) = ln(cos(x))
    f'(x) = -sin(x)/cos(x) = -1/tan(x)
    f''(x) = -1/cos²(x)

    f(0) = 0
    f'(0) = 0
    f''(0) = -1

    DL : -x²/2 + o(x³)
    '''''''''
    b)
    g(x) = [(1+x)/cos(x)]^(a/x)

    ln(g(x)) = (a/x).(ln(1+x) - ln(cos(x))

    Et, près de 0 avec la partie 1a :

    ln(g(x))≃a.ln(1+x)x−ax.−x22ln(g(x)) \simeq a.\frac{ln(1+x)}{x} - \frac{a}{x}.\frac{-x^2}{2}ln(g(x))a.xln(1+x)xa.2x2

    ln(g(x))≃a.ln(1+x)x+a.x2ln(g(x)) \simeq a.\frac{ln(1+x)}{x} + \frac{a.x}{2}ln(g(x))a.xln(1+x)+2a.x

    limx→0ln[(1+xcos(x))ax]≃limx→0a.ln(1+x)x+limx→0a.x2lim_{x\to 0} ln[(\frac{1+x}{cos(x)})^{\frac{a}{x}}] \simeq lim_{x\to 0} a.\frac{ln(1+x)}{x} + lim_{x\to 0} \frac{a.x}{2}limx0ln[(cos(x)1+x)xa]limx0a.xln(1+x)+limx02a.x

    limx→0ln[(1+xcos(x))ax]≃a∗1+0lim_{x\to 0} ln[(\frac{1+x}{cos(x)})^{\frac{a}{x}}] \simeq a*1 + 0limx0ln[(cos(x)1+x)xa]a1+0

    limx→0ln[(1+xcos(x))ax]≃alim_{x\to 0} ln[(\frac{1+x}{cos(x)})^{\frac{a}{x}}] \simeq alimx0ln[(cos(x)1+x)xa]a

    Et donc limx→0[(1+xcos(x))ax]=ealim_{x\to 0} [(\frac{1+x}{cos(x)})^{\frac{a}{x}}] = e^alimx0[(cos(x)1+x)xa]=ea

    A vérifier et à toi pour le 2ème.


  • medou coulibaly

    @Black-Jack Bonjour monsieur, merci beaucoup je fais mais je n'arrive pas à avoir une issue


  • B

    @medou-coulibaly a dit dans DM.Développement limité et calcule de limites :

    @Black-Jack Bonjour monsieur, merci beaucoup je fais mais je n'arrive pas à avoir une issue

    Il faut essayer ... par exemple :

    Poser x = 1/t (et donc x--> +oo correspond à t --> 0)

    lim(x--> +oo) [ 1-2/x]^(a.x) = lim(t--> 0) [1-2t]^(a/t)

    f(t) = [1-2t]^(a/t)
    ln(f(t)) = a/t * ln(1-2t)

    DL en 0 de ln(1-2t) ... à faire.
    On trouve : ln(1-2t) = -2t + O(t²)

    Et donc
    limt→0 [at∗ln(1−2t)]=limt→0[at∗(−2t)]=−2alim_{t\to 0 }\ [\frac{a}{t} * ln(1-2t)] = lim_{t\to 0} [\frac{a}{t} * (-2t)] = -2alimt0 [taln(12t)]=limt0[ta(2t)]=2a

    Et donc limt→0[1−2t]a/t=e−2alim_{t\to 0 } [1-2t]^{a/t} = e^{-2a}limt0[12t]a/t=e2a

    limx→+∞[1−2x]a.x=e−2alim_{x\to +\infty } [1-\frac{2}{x}]^{a.x} = e^{-2a}limx+[1x2]a.x=e2a


  • medou coulibaly

    @Black-Jack ok d'accord c'est compris monsieur


  • medou coulibaly

    @medou-coulibaly merci beaucoup pour votre aide 🙏


  • medou coulibaly

    @Black-Jack je n'arrive pas à avoir le DL en 0 de ln(1-2t) ...


  • B

    f(t) = ln(1-2t)
    f'(t) = -2/(1-2t)
    f''(t) = -4/(1-2t)²

    f(0) = 0
    f'(0) = -2
    f''(0) = -4

    DL d'ordre 1 en 0 de ln(1+t) : 0 - 2t + o(t²) = -2t + O(t²)


  • medou coulibaly

    @Black-Jack ok merci beaucoup monsieur


  • medou coulibaly

    @Black-Jack Bonjour monsieur je pense qu'il n'y eu une petite erreur sur la 1-a )
    DL : -x²/2 + o(x³)
    Je pense que ça fait DL : -x²/2 + o(x²) car on dit le DL à l'ordre 2


  • B

    @medou-coulibaly a dit dans DM.Développement limité et calcule de limites :

    @Black-Jack Bonjour monsieur je pense qu'il n'y eu une petite erreur sur la 1-a )
    DL : -x²/2 + o(x³)
    Je pense que ça fait DL : -x²/2 + o(x²) car on dit le DL à l'ordre 2

    Bonjour,

    Voila ce que donnent deux logiciels en ligne de calcul de DL (qui trouvent le même résultat que celui que j'avais donné) :

    Sans titre1.png

    Sans titre.png


  • medou coulibaly

    @Black-Jack ok merci beaucoup


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Je viens de regarder la fin de ce topic .

    A propos du "petit o" et "grand O", il y a une nuance.

    Dans le calculateur DCODE, il ne s'agit pas visiblement du "petit o"...

    De façon usuelle , en maths, on utilise le "petit o"

    (Le "grand O" est plutôt utilisé en informatique et n'a pas tout à fait la même signification mathématique)

    Pour l'usage du "petit o", je mets un lien à consulter, qui en donne toute l'explication et qui doit correspondre au cours de medou-coulibaly :

    https://www.methodemaths.fr/developpements_limites/#petito

    Formule de Taylor-Young : développement limité de f à l’ordre n au voisinage de a :

    f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+...+f(n)(a)n!(x−a)n+o(x−a)nf(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n+o(x-a)^nf(x)=f(a)+f(a)(xa)+2!f(a)(xa)2+...+n!f(n)(a)(xa)n+o(xa)n

    En particulier au voisinage de 0 :
    f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+...+f(n)(0)n!xn+o(xn)\boxed{f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!} x^2+...+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n+o(x^n)}f(x)=f(0)+f(0)x+2!f(0)x2+...+n!f(n)(0)xn+o(xn)

    La remarque de @medou-coulibaly est bien exacte , avec le "petit o", bien sûr.

    Bonne nuit, vu l'heure tardive.


  • B

    @mtschoon

    Bonjour,

    J'ai malencontreusement tapé "o" à la place de "O" dans mon premier message.

    J'ai été moins distrait dans les autres, où j'ai bien indiqué "O".

    Par exemple :
    DL en 0 de ln(1-2t) ... à faire.
    On trouve : ln(1-2t) = -2t + O(t²)


  • medou coulibaly

    @Black-Jack oui je trouve ça je pense bien


  • medou coulibaly

    @mtschoon Bonjour/Bonsoir madame


  • mtschoon

    @medou-coulibaly , bonjour,

    J'espère que tu n'es par géné les "petits o" et les "grands O"

    Je te rappelle quelques définitions, si besoin (pour savoir exactement de quoi on parle lorsqu'on les utilise)

    Au voisinage d'un point,
    f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x))f(x)=o(g(x)) veut dire que f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x) tend vers 000
    f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x))f(x)=O(g(x)) veut dire que ∣f(x)g(x)∣|\dfrac{f(x)}{g(x)}|g(x)f(x) est borné
    f(x)∼g(x)f(x) \sim g(x) f(x)g(x) veut dire que f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x) tend vers 111

    Bon travail !


  • medou coulibaly

    @mtschoon Bonjour madame merci beaucoup je comprends bien


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