Équation différentielle

[Donassi soungari Soro]

Bonjour j'espère que vous allez bien. J'ai besoin de l'aide sur cet que je bloque.
Résoudre cette équation différentielle : y'' - y' - 2y = x² e^(-3x).
J'ai besoin de l'aide SVP !

[Black-Jack]

Bonjour,

Solutions de l'équation avec second membre = 0 : y" - y' - 2y = 0

r²-r-2=0
r=-1 ou r = 2
--> y = A.e^(-x) + B.e^(2x)

Solution particulière de l'équation complète :
Cette solution est de la forme y = (a.x²+bx+c).e^(-3x)

y' = (a.(2-3x).x - 3bx + b - 3c).e^(-3x)
y" = (a(9x²-12x+2)+b(9x-6)+9c).e^(-3x)

On a donc :
(a(9x²-12x+2)+b(9x-6)+9c).e^(-3x) - (a.(2-3x).x - 3bx + b - 3c).e^(-3x) - 2*(a.x²+bx+c).e^(-3x) = x².e^(-3x)

(a(9x²-12x+2)+b(9x-6)+9c) - (a.(2-3x).x - 3bx + b - 3c) - 2*(a.x²+bx+c) = x²

9ax²-12ax+2a+9bx-6b+9c-2ax+3ax² + 3bx-b+3c-2ax²-2bx-2c=x²

10ax² +(10b-14a)x+2a-7b+10c=x²

Dont on tire le système :
10a = 1
10b-14a= 0
2a-7b+10c = 0
qui résolu donne : a = 0,1 ; b = 0,14 ; c = 0,078

Une solution particulière de l'équation complète est donc : y = (0,1.x² + 0,14.x + 0,078).e^(-3x)

Les solutions générales sont donc :

y = A.e^(-x) + B.e^(2x) + (0,1.x² + 0,14.x + 0,078).e^(-3x)

Avec A et B des constantes à déterminer à partir des conditions initiales.

[Donassi soungari Soro]

@Black-Jack bonjour, merci infiniment monsieur .