DM : Endomorphisme et Automorphisme

Bonjour comment vous allez j'ai un exercice dont je sur la question 2 a et b )
J'ai pleinement besoin d'aide de votre part
Soit S ={ ( -2, 1, 0 ) , ( 2, -1, 3 ) , ( 1, 0 , 3 ) } et m ∈ ℝ.

Montrer que S est une base de ℝ³ ?
Soit fm l'endomorphisme de ℝ³ dont la matrice par rapport à la base canonique est :
Am =
( 1 3 1 )
( -1 1 0 )
( 1 2 m )
a) Pour quelles valeurs de m , fm est-elle un automorphisme de ℝ³ ?
b ) Quel est alors l'endomorphisme réciproque ?
3 ) Dterminer la matrice de fm par rapport à S.

@medou-coulibaly , bonjour,

Je te donne des pistes ( à toi de faire les calculs) , mais je te conseille de regarder ton cours de près car les méthodes y sont forcément indiquées.

2)a) Un endomorphisme est un automorphisme ( c'est à dire un endomorphisme bijectif ) si et seulement si le déterminant de sa matrice est non nul.

Tu calcules $Det(A_m)$

Sauf erreur, $Det(A_m)=4m-3$

$4m−3≠04m-3\ne 0$ <=> $m≠34\boxed{m\ne \dfrac{3}{4}}$

2)b) Pour $m≠34m\ne \dfrac{3}{4}$ , $f_m$ étant bijective, son endomorphisme réciproque existe.

Il a pour matrice $A_m)^{-1}$ qui est ma matrice réciproque de $A_m$

Si tu souhaites donner l'expression de $A_m)^{-1}$ , il y a plusieurs façons de la calculer.
Regarde ton cours pour cela, car tu dois avoir un paragraphe noté "calcul de la matrice réciproque d'une matrice 3x3 "
Tu peux d'ailleurs consulter des topics que tu as postés qui concernent ce sujet.

@medou-coulibaly ,

Pour la 3)

Tu as une propriété de ton cours, déjà utilisée dans un autre topic que tu as posté .

La matrice de $f_m$ dan la base $(S)$ , que je note $A'_m$ , est :
$Am′=P−1AmP\boxed{A'_m=P^{-1}A_mP}$

$P$ est la matrice de passage de la base canonique à la base $(S)$ .

Pour écrire la matrice $P$ , tu utilises les coordonnées des vecteurs de $S$ posés "verticalement"

$3)P=\begin{pmatrix}-2\ \ \ 2\ \ \ 1\cr 1\ -1\ \ \ 0\cr 0\ \ \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 3\end{pmatrix}$

Tu calcules $P^{-1}$ (qui représente la matrice de passage de la base (S) à la base canonique) et tu calcules le produit des trois matrices (formule encadrée).

Vu que la multiplication matricielle est associative, tu peux faire $(P−1×Am)×P(P^{-1}\times A_m)\times P$ ou bien $P−1×(Am×P)P^{-1}\times (A_m\times P)$

Pour vérifier tes calculs (je ne les ai pas faits) tu peux utiliser le calculateur en ligne https://www.dcode.fr/simplification-mathematique , en indiquant l'outil que tu recherches.

Bons calculs.

@mtschoon ok merci merci beaucoup madame je vais vous revenir